משפט ערך הביניים: הבדלים בין גרסאות בדף
אין תקציר עריכה |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) מאין תקציר עריכה |
||
| שורה 2: | שורה 2: | ||
<videoflash>NxqtPr0wWJg</videoflash> | <videoflash>NxqtPr0wWJg</videoflash> | ||
תהי <math>f</math> פונקציה הרציפה בקטע [a,b]. אזי לכל <math>\alpha</math> בין <math>f(a),f(b)</math> קיימת <math>c\in[a,b]</math> כך ש <math>f(c)=\alpha</math> | תהי <math>f</math> פונקציה הרציפה בקטע </math>[a,b]</math>. אזי לכל <math>\alpha</math> בין <math>f(a),f(b)</math> קיימת <math>c\in [a,b]</math> כך ש- <math>f(c)=\alpha</math> | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
ראשית, נוכיח משפט חלש יותר: | ראשית, נוכיח משפט חלש יותר: | ||
תהי <math>f</math> פונקציה הרציפה בקטע [a,b]. אזי אם <math>f(a)f(b)<0</math> קיימת <math>c\in[a,b]</math> כך ש <math>f(c)=0</math> | תהי <math>f</math> פונקציה הרציפה בקטע </math>[a,b]</math>. אזי אם <math>f(a)f(b)<0</math> קיימת <math>c\in [a,b]</math> כך ש- <math>f(c)=0</math> . | ||
כלומר, פונקציה רציפה חייבת להתאפס בין נקודה בה היא מקבלת ערך שלילי | כלומר, פונקציה רציפה חייבת להתאפס בין נקודה בה היא מקבלת ערך שלילי לנקודה בה היא מקבלת ערך חיובי. (היא לא יכולה "לדלג" על ציר </math>x</math>.) | ||
'''הוכחה:''' | |||
נגדיר <math>I_1=[a,b]</math>. כעת, אם <math>f(\tfrac{a+b}{2})=0</math> סיימנו. | |||
אחרת, נחלק את הקטע לשניים, וניקח <math>I_2=[a,\tfrac{a+b}{2}]</math> או <math>I_2=[\tfrac{a+b}{2},b]</math> כך שהפונקציה תקבל סימנים מנוגדים בקצות הקטע. | |||
נחלק שוב את הקטע באופן דומה עד שנקבל נקודה בה הפונקציה מתאפסת, או שנקבל סדרה של קטעים המוכלים זה בזה, בעלי אורך שואף לאפס (שכן אנחנו מחלקים את האורך בשתיים בכל פעם). | |||
נחלק שוב את הקטע באופן דומה עד שנקבל נקודה בה הפונקציה מתאפסת, או שנקבל סדרה של קטעים המוכלים זה בזה, בעלי אורך שואף לאפס (שכן אנחנו מחלקים את האורך | |||
אם קיבלנו סדרה אינסופית של קטעים <math>I_n=[a_n,b_n]</math>, היא מקיימת את [[הלמה של קנטור]] ויש נקודת גבול משותפת <math>\lim a_n = \lim b_n = c\in [a,b]</math> | אם קיבלנו סדרה אינסופית של קטעים <math>I_n=[a_n,b_n]</math>, היא מקיימת את [[הלמה של קנטור]] ויש נקודת גבול משותפת <math>\lim a_n = \lim b_n = c\in [a,b]</math> | ||
כעת, | כעת, כיון שהפונקציה רציפה, לפי היינה | ||
::<math>f(c)=\lim f(a_n) = \lim f(b_n)</math>. | ::<math>f(c)=\lim f(a_n) = \lim f(b_n)</math>. | ||
אבל | אבל כיון שהפונקציה מקבל אינסוף ערכים שליליים על סדרות אלה, וגם אינסוף ערכים חיוביים, הגבול חייב להיות אפס, כלומר | ||
::<math>f(c)=0</math> | ::<math>f(c)=0</math> | ||
| שורה 33: | שורה 31: | ||
כעת נשוב למקרה הכללי. נביט בפונקציה <math>g(x)=f(x)-\alpha</math>. כיון ש- <math>\alpha</math> בין <math>f(a),f(b)</math> ברור כי | |||
<math>g(a)\cdot g(b)< 0</math>. | |||
לפי המשפט לעיל, קיימת <math>c</math> בקטע כך ש- <math>g(c)=0</math> כלומר, <math>f(c)=\alpha</math> כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math> | |||
[[קטגוריה:אינפי]] | [[קטגוריה:אינפי]] | ||
גרסה מ־23:31, 26 בינואר 2016
משפט ערך הביניים
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה הרציפה בקטע </math>[a,b]</math>. אזי לכל [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] בין [math]\displaystyle{ f(a),f(b) }[/math] קיימת [math]\displaystyle{ c\in [a,b] }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ f(c)=\alpha }[/math]
הוכחה
ראשית, נוכיח משפט חלש יותר:
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה הרציפה בקטע </math>[a,b]</math>. אזי אם [math]\displaystyle{ f(a)f(b)\lt 0 }[/math] קיימת [math]\displaystyle{ c\in [a,b] }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ f(c)=0 }[/math] .
כלומר, פונקציה רציפה חייבת להתאפס בין נקודה בה היא מקבלת ערך שלילי לנקודה בה היא מקבלת ערך חיובי. (היא לא יכולה "לדלג" על ציר </math>x</math>.)
הוכחה: נגדיר [math]\displaystyle{ I_1=[a,b] }[/math]. כעת, אם [math]\displaystyle{ f(\tfrac{a+b}{2})=0 }[/math] סיימנו.
אחרת, נחלק את הקטע לשניים, וניקח [math]\displaystyle{ I_2=[a,\tfrac{a+b}{2}] }[/math] או [math]\displaystyle{ I_2=[\tfrac{a+b}{2},b] }[/math] כך שהפונקציה תקבל סימנים מנוגדים בקצות הקטע.
נחלק שוב את הקטע באופן דומה עד שנקבל נקודה בה הפונקציה מתאפסת, או שנקבל סדרה של קטעים המוכלים זה בזה, בעלי אורך שואף לאפס (שכן אנחנו מחלקים את האורך בשתיים בכל פעם).
אם קיבלנו סדרה אינסופית של קטעים [math]\displaystyle{ I_n=[a_n,b_n] }[/math], היא מקיימת את הלמה של קנטור ויש נקודת גבול משותפת [math]\displaystyle{ \lim a_n = \lim b_n = c\in [a,b] }[/math]
כעת, כיון שהפונקציה רציפה, לפי היינה
- [math]\displaystyle{ f(c)=\lim f(a_n) = \lim f(b_n) }[/math].
אבל כיון שהפונקציה מקבל אינסוף ערכים שליליים על סדרות אלה, וגם אינסוף ערכים חיוביים, הגבול חייב להיות אפס, כלומר
- [math]\displaystyle{ f(c)=0 }[/math]
כפי שרצינו.
כעת נשוב למקרה הכללי. נביט בפונקציה [math]\displaystyle{ g(x)=f(x)-\alpha }[/math]. כיון ש- [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] בין [math]\displaystyle{ f(a),f(b) }[/math] ברור כי
[math]\displaystyle{ g(a)\cdot g(b)\lt 0 }[/math].
לפי המשפט לעיל, קיימת [math]\displaystyle{ c }[/math] בקטע כך ש- [math]\displaystyle{ g(c)=0 }[/math] כלומר, [math]\displaystyle{ f(c)=\alpha }[/math] כפי שרצינו. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]