משפט ערך הביניים: הבדלים בין גרסאות בדף

גרסה מ־23:32, 26 בינואר 2016

משפט ערך הביניים

תהי $f$ פונקציה הרציפה בקטע </math>[a,b]</math>. אזי לכל $α$ בין $f (a), f (b)$ קיימת $c \in [a, b]$ כך ש- $f (c) = α$

הוכחה

ראשית, נוכיח משפט חלש יותר:

תהי $f$ פונקציה הרציפה בקטע $[a, b]$ . אזי אם $f (a) \cdot f (b) < 0$ קיימת $c \in [a, b]$ כך ש- $f (c) = 0$ .

כלומר, פונקציה רציפה חייבת להתאפס בין נקודה בה היא מקבלת ערך שלילי לנקודה בה היא מקבלת ערך חיובי. (היא לא יכולה "לדלג" על ציר $x$ .)

הוכחה: נגדיר $I_{1} = [a, b]$ . כעת, אם $f (\frac{a + b}{2}) = 0$ סיימנו.

אחרת, נחלק את הקטע לשניים, וניקח $I_{2} = [a, \frac{a + b}{2}]$ או $I_{2} = [\frac{a + b}{2}, b]$ כך שהפונקציה תקבל סימנים מנוגדים בקצות הקטע.

נחלק שוב את הקטע באופן דומה עד שנקבל נקודה בה הפונקציה מתאפסת, או שנקבל סדרה של קטעים המוכלים זה בזה, בעלי אורך שואף לאפס (שכן אנחנו מחלקים את האורך בשתיים בכל פעם).

אם קיבלנו סדרה אינסופית של קטעים $I_{n} = [a_{n}, b_{n}]$ , היא מקיימת את הלמה של קנטור ויש נקודת גבול משותפת $lim a_{n} = lim b_{n} = c \in [a, b]$

כעת, כיון שהפונקציה רציפה, לפי היינה

f (c) = lim f (a_{n}) = lim f (b_{n})

.

אבל כיון שהפונקציה מקבל אינסוף ערכים שליליים על סדרות אלה, וגם אינסוף ערכים חיוביים, הגבול חייב להיות אפס, כלומר

f (c) = 0

כפי שרצינו.

כעת נשוב למקרה הכללי. נביט בפונקציה $g (x) = f (x) - α$ . כיון ש- $α$ בין $f (a), f (b)$ ברור כי $g (a) \cdot g (b) < 0$ .

לפי המשפט לעיל, קיימת $c$ בקטע כך ש- $g (c) = 0$ כלומר, $f (c) = α$ כפי שרצינו. $◼$

@@ שורה 7: / שורה 7: @@
 ראשית, נוכיח משפט חלש יותר:
-תהי <math>f</math> פונקציה הרציפה בקטע </math>[a,b]</math>. אזי אם <math>f(a)f(b)<0</math> קיימת <math>c\in [a,b]</math> כך ש- <math>f(c)=0</math> .
+תהי <math>f</math> פונקציה הרציפה בקטע <math>[a,b]</math>. אזי אם <math>f(a)\cdot f(b)<0</math> קיימת <math>c\in [a,b]</math> כך ש- <math>f(c)=0</math> .
-כלומר, פונקציה רציפה חייבת להתאפס בין נקודה בה היא מקבלת ערך שלילי לנקודה בה היא מקבלת ערך חיובי. (היא לא יכולה "לדלג" על ציר </math>x</math>.)
+כלומר, פונקציה רציפה חייבת להתאפס בין נקודה בה היא מקבלת ערך שלילי לנקודה בה היא מקבלת ערך חיובי. (היא לא יכולה "לדלג" על ציר <math>x</math>.)
 '''הוכחה:'''
-נגדיר <math>I_1=[a,b]</math>. כעת, אם <math>f(\tfrac{a+b}{2})=0</math> סיימנו.
+נגדיר <math>I_1=[a,b]</math> . כעת, אם <math>f(\tfrac{a+b}{2})=0</math> סיימנו.
 אחרת, נחלק את הקטע לשניים, וניקח <math>I_2=[a,\tfrac{a+b}{2}]</math> או <math>I_2=[\tfrac{a+b}{2},b]</math> כך שהפונקציה תקבל סימנים מנוגדים בקצות הקטע.