סדרת פונקציות: הבדלים בין גרסאות בדף
(יצירת דף עם התוכן "==הגדרה== נביט בסדרת פונקציות ממשיות <math>\{f_n(x)\}_1^\infty</math>. עבור כל מספר ממשי קבוע <math>x_0</math> מתק...") |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) מאין תקציר עריכה |
||
| שורה 2: | שורה 2: | ||
נביט בסדרת פונקציות ממשיות <math>\{f_n(x)\}_1^\infty</math>. עבור כל מספר ממשי קבוע <math>x_0</math> מתקבלת הסדרה הממשית <math>f_n(x_0)</math>. | נביט בסדרת פונקציות ממשיות <math>\{f_n(x)\}_1^\infty</math>. עבור כל מספר ממשי קבוע <math>x_0</math> מתקבלת הסדרה הממשית <math>f_n(x_0)</math>. | ||
נגדיר את '''פונקציית הגבול''' <math>f(x)</math> של סדרת הפונקציות <math>f_n(x)</math> באופן הבא: | |||
*אם <math>f_n(x_0)</math> מתכנסת במובן הצר אזי <math>f(x_0):=\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x_0)</math> | |||
*אם <math>f_n(x_0)</math> מתכנסת במובן הצר אזי <math>f(x_0):=\ | |||
*אחרת, <math>x_0</math> אינו בתחום ההגדרה של פונקצית הגבול. | *אחרת, <math>x_0</math> אינו בתחום ההגדרה של פונקצית הגבול. | ||
מסמנים <math>f_n(x)\ | מסמנים <math>f_n(x)\to f(x)</math> ואומרים כי סדרת הפונקציה מתכנסת '''נקודתית''' לפונקצית הגבול. | ||
==דוגמאות== | ==דוגמאות== | ||
===1.=== | ===1.=== | ||
<math>f_n(x)=x^n</math> | <math>f_n(x)=x^n</math> | ||
<math>f(x)=\begin{cases}0&|x|<1\\ 1 & x=1 \\ \not\exists & (x\le -1) \or (x>1)\end{cases}</math> | |||
<math>f(x)=\begin{cases}0&|x|<1\\ 1 & x=1 \\ \not\exists & (x\ | |||
===2.=== | ===2.=== | ||
<math>f_n=\frac{ | <math>f_n=\frac{\sin(nx)}{n}</math> | ||
<math>f(x)\equiv 0</math> | <math>f(x)\equiv 0</math> | ||
[[קטגוריה:אינפי]] | [[קטגוריה:אינפי]] | ||
גרסה מ־00:17, 27 בינואר 2016
הגדרה
נביט בסדרת פונקציות ממשיות [math]\displaystyle{ \{f_n(x)\}_1^\infty }[/math]. עבור כל מספר ממשי קבוע [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] מתקבלת הסדרה הממשית [math]\displaystyle{ f_n(x_0) }[/math].
נגדיר את פונקציית הגבול [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] של סדרת הפונקציות [math]\displaystyle{ f_n(x) }[/math] באופן הבא:
- אם [math]\displaystyle{ f_n(x_0) }[/math] מתכנסת במובן הצר אזי [math]\displaystyle{ f(x_0):=\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x_0) }[/math]
- אחרת, [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אינו בתחום ההגדרה של פונקצית הגבול.
מסמנים [math]\displaystyle{ f_n(x)\to f(x) }[/math] ואומרים כי סדרת הפונקציה מתכנסת נקודתית לפונקצית הגבול.
דוגמאות
1.
[math]\displaystyle{ f_n(x)=x^n }[/math]
[math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}0&|x|\lt 1\\ 1 & x=1 \\ \not\exists & (x\le -1) \or (x\gt 1)\end{cases} }[/math]
2.
[math]\displaystyle{ f_n=\frac{\sin(nx)}{n} }[/math]
[math]\displaystyle{ f(x)\equiv 0 }[/math]