משפט ערך הביניים: הבדלים בין גרסאות בדף
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) מאין תקציר עריכה |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) מאין תקציר עריכה |
||
שורה 2: | שורה 2: | ||
<videoflash>NxqtPr0wWJg</videoflash> | <videoflash>NxqtPr0wWJg</videoflash> | ||
תהי <math>f</math> פונקציה הרציפה בקטע < | תהי <math>f</math> פונקציה הרציפה בקטע <math>[a,b]</math>. אזי לכל <math>\alpha</math> בין <math>f(a),f(b)</math> קיימת <math>c\in [a,b]</math> כך ש- <math>f(c)=\alpha</math> | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== |
גרסה מ־16:32, 27 בינואר 2016
משפט ערך הביניים
תהי
הוכחה
ראשית, נוכיח משפט חלש יותר:
תהי
כלומר, פונקציה רציפה חייבת להתאפס בין נקודה בה היא מקבלת ערך שלילי לנקודה בה היא מקבלת ערך חיובי. (היא לא יכולה "לדלג" על ציר
הוכחה:
נגדיר
אחרת, נחלק את הקטע לשניים, וניקח
נחלק שוב את הקטע באופן דומה עד שנקבל נקודה בה הפונקציה מתאפסת, או שנקבל סדרה של קטעים המוכלים זה בזה, בעלי אורך שואף לאפס (שכן אנחנו מחלקים את האורך בשתיים בכל פעם).
אם קיבלנו סדרה אינסופית של קטעים
כעת, כיון שהפונקציה רציפה, לפי היינה
.
אבל כיון שהפונקציה מקבל אינסוף ערכים שליליים על סדרות אלה, וגם אינסוף ערכים חיוביים, הגבול חייב להיות אפס, כלומר
כפי שרצינו.
כעת נשוב למקרה הכללי. נביט בפונקציה
לפי המשפט לעיל, קיימת