משפט בולצאנו-ויירשטראס: הבדלים בין גרסאות בדף
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) מאין תקציר עריכה |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
| שורה 3: | שורה 3: | ||
==הוכחה== | ==הוכחה== | ||
ראשית, נזכר ב'''למה של קנטור'''. יהי <math>\{I_n\}</math> אוסף של קטעים סגורים <math>I_n=[a_n,b_n]</math> כך שכל אחד מוכל בקודמו (כלומר <math>a_n</math> מונוטונית לא-יורדת, ו- <math>b_n</math> מונוטונית לא-עולה). עוד נניח כי אורך הקטעים שואף ל- <math>0</math> , כלומר <math>\ | ראשית, נזכר ב'''למה של קנטור'''. יהי <math>\{I_n\}</math> אוסף של קטעים סגורים <math>I_n=[a_n,b_n]</math> כך שכל אחד מוכל בקודמו (כלומר <math>a_n</math> מונוטונית לא-יורדת, ו- <math>b_n</math> מונוטונית לא-עולה). עוד נניח כי אורך הקטעים שואף ל- <math>0</math> , כלומר <math>\lim\limits_{n\to\infty}\Big[b_n-a_n\Big]=0</math> . | ||
אזי קיימת נקודה יחידה השייכת '''לכל''' הקטעים. (מתקיים באופן טבעי שנקודה זו שווה לגבול הסדרות <math>a_n,b_n</math> .) | אזי קיימת נקודה יחידה השייכת '''לכל''' הקטעים. (מתקיים באופן טבעי שנקודה זו שווה לגבול הסדרות <math>a_n,b_n</math> .) | ||
נביט כעת בסדרה חסומה <math>-M\le a_n\le M</math> (זכרו, הסדרה לא חייבת להיות בכל הקטע הזה, רק לא לצאת ממנו). כיון שבסדרה ישנם אינסוף | נביט כעת בסדרה חסומה <math>-M\le a_n\le M</math> (זכרו, הסדרה לא חייבת להיות בכל הקטע הזה, רק לא לצאת ממנו). כיון שבסדרה ישנם אינסוף אברים, הקטע <math>I_1:=[-M,M]</math> מכיל אינסוף אברים מהסדרה. | ||
נביט כעת בשני חצאי הקטע <math>[-M,0],[0,M]</math> . '''בהכרח אחד מהם לפחות מכיל אינסוף | נביט כעת בשני חצאי הקטע <math>[-M,0],[0,M]</math> . '''בהכרח אחד מהם לפחות מכיל אינסוף אברים מהסדרה''' (וזה עיקר הרעיון של ההוכחה). נסמן את חצי הקטע הזה ב- <math>I_2</math> . נחצה את הקטע הזה לשניים, ונבחר חצי שמכיל אינסוף אברים. | ||
אם כך, קיבלנו סדרה של קטעים <math>I_1\supseteq I_2 \supseteq \cdots</math> המקיימת את התכונות הבאות: | אם כך, קיבלנו סדרה של קטעים <math>I_1\supseteq I_2\supseteq\cdots</math> המקיימת את התכונות הבאות: | ||
*כל קטע מכיל אינסוף | *כל קטע מכיל אינסוף אברים מהסדרה <math>a_n</math> | ||
*כל קטע מוכל בקודמו | *כל קטע מוכל בקודמו | ||
*אורך כל קטע הוא חצי קודמו. כיון שאורך הקטע הראשון הנו <math>2M</math> אורך הקטע <math>I_n</math> שווה ל- <math>\ | *אורך כל קטע הוא חצי קודמו. כיון שאורך הקטע הראשון הנו <math>2M</math> אורך הקטע <math>I_n</math> שווה ל- <math>\dfrac{M}{2^{n-2}}</math> . ברור שאורך הקטעים שואף ל- <math>0</math> לכן- | ||
| שורה 24: | שורה 24: | ||
*יהי <math>\epsilon>0</math> , רוצים להוכיח כי בסביבת <math>\epsilon</math> של <math>L</math> ישנם אינסוף | *יהי <math>\epsilon>0</math> , רוצים להוכיח כי בסביבת <math>\epsilon</math> של <math>L</math> ישנם אינסוף אברים מהסדרה. | ||
*כיון שאורך הקטעים שבנינו שואפים ל- <math>0</math> , יש קטע שאורכו קטן מ- <math>\frac{epsilon}{2}</math> . | *כיון שאורך הקטעים שבנינו שואפים ל- <math>0</math> , יש קטע שאורכו קטן מ- <math>\frac{\epsilon}{2}</math> . | ||
*לפי ההגדרה של <math>L</math> מהלמה של קנטור, <math>L</math> מוכל בכל הקטעים שבנינו ובפרט בקטע הקטן הזה. | *לפי ההגדרה של <math>L</math> מהלמה של קנטור, <math>L</math> מוכל בכל הקטעים שבנינו ובפרט בקטע הקטן הזה. | ||
*לכן | *לכן בודאי הקטע הקטן מוכל בסביבת <math>\epsilon</math> של <math>L</math> . | ||
*אבל אחת התכונות של הקטעים שבנינו היא שהם מכילים אינסוף איברים מהסדרה ולכן קיימים אינסוף | *אבל אחת התכונות של הקטעים שבנינו היא שהם מכילים אינסוף איברים מהסדרה ולכן קיימים אינסוף אברים מהסדרה בסביבת <math>\epsilon</math> של <math>L</math> . | ||
כפי שרצינו להוכיח. | כפי שרצינו להוכיח. | ||
[[קטגוריה:אינפי]] | [[קטגוריה:אינפי]] | ||
גרסה מ־16:27, 13 באוקטובר 2016
משפט בולצאנו-ויירשטראס לסדרות
לכל סדרה חסומה יש תת-סדרה מתכנסת
הוכחה
ראשית, נזכר בלמה של קנטור. יהי [math]\displaystyle{ \{I_n\} }[/math] אוסף של קטעים סגורים [math]\displaystyle{ I_n=[a_n,b_n] }[/math] כך שכל אחד מוכל בקודמו (כלומר [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מונוטונית לא-יורדת, ו- [math]\displaystyle{ b_n }[/math] מונוטונית לא-עולה). עוד נניח כי אורך הקטעים שואף ל- [math]\displaystyle{ 0 }[/math] , כלומר [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\Big[b_n-a_n\Big]=0 }[/math] .
אזי קיימת נקודה יחידה השייכת לכל הקטעים. (מתקיים באופן טבעי שנקודה זו שווה לגבול הסדרות [math]\displaystyle{ a_n,b_n }[/math] .)
נביט כעת בסדרה חסומה [math]\displaystyle{ -M\le a_n\le M }[/math] (זכרו, הסדרה לא חייבת להיות בכל הקטע הזה, רק לא לצאת ממנו). כיון שבסדרה ישנם אינסוף אברים, הקטע [math]\displaystyle{ I_1:=[-M,M] }[/math] מכיל אינסוף אברים מהסדרה.
נביט כעת בשני חצאי הקטע [math]\displaystyle{ [-M,0],[0,M] }[/math] . בהכרח אחד מהם לפחות מכיל אינסוף אברים מהסדרה (וזה עיקר הרעיון של ההוכחה). נסמן את חצי הקטע הזה ב- [math]\displaystyle{ I_2 }[/math] . נחצה את הקטע הזה לשניים, ונבחר חצי שמכיל אינסוף אברים.
אם כך, קיבלנו סדרה של קטעים [math]\displaystyle{ I_1\supseteq I_2\supseteq\cdots }[/math] המקיימת את התכונות הבאות:
- כל קטע מכיל אינסוף אברים מהסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math]
- כל קטע מוכל בקודמו
- אורך כל קטע הוא חצי קודמו. כיון שאורך הקטע הראשון הנו [math]\displaystyle{ 2M }[/math] אורך הקטע [math]\displaystyle{ I_n }[/math] שווה ל- [math]\displaystyle{ \dfrac{M}{2^{n-2}} }[/math] . ברור שאורך הקטעים שואף ל- [math]\displaystyle{ 0 }[/math] לכן-
לפי הלמה של קנטור, מתקיים כי יש נקודה המוכל בכל הקטעים הללו, נקרא לה [math]\displaystyle{ L }[/math] . נוכיח כי [math]\displaystyle{ L }[/math] הנה גבול חלקי של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ובכך נסיים את ההוכחה (שכן ההגדרה של גבול חלקי הנו קיום תת-סדרה השואפת אליו).
- יהי [math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math] , רוצים להוכיח כי בסביבת [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] של [math]\displaystyle{ L }[/math] ישנם אינסוף אברים מהסדרה.
- כיון שאורך הקטעים שבנינו שואפים ל- [math]\displaystyle{ 0 }[/math] , יש קטע שאורכו קטן מ- [math]\displaystyle{ \frac{\epsilon}{2} }[/math] .
- לפי ההגדרה של [math]\displaystyle{ L }[/math] מהלמה של קנטור, [math]\displaystyle{ L }[/math] מוכל בכל הקטעים שבנינו ובפרט בקטע הקטן הזה.
- לכן בודאי הקטע הקטן מוכל בסביבת [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] של [math]\displaystyle{ L }[/math] .
- אבל אחת התכונות של הקטעים שבנינו היא שהם מכילים אינסוף איברים מהסדרה ולכן קיימים אינסוף אברים מהסדרה בסביבת [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] של [math]\displaystyle{ L }[/math] .
כפי שרצינו להוכיח.