הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מדמח/פתרון בוחן 1"
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) מ |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
||
שורה 14: | שורה 14: | ||
==4== | ==4== | ||
− | כיון | + | כיון שהאבר הראשון חיובי, ושאר האברים הם ריבועים, קל לראות כי כל הסדרה חיובית. לכן |
− | :<math>a_{n+1}<a_n \iff a_n^2<a_{n-1}^2\iff a_n<a_{n-1}</math> | + | :<math>a_{n+1}<a_n\iff a_n^2<a_{n-1}^2\iff a_n<a_{n-1}</math> |
ניתן על כן להוכיח באינדוקציה כי מונוטוניות הסדרה נקבעת על-ידי הזוג הראשון. כאשר <math>c>1</math> הסדרה מונוטונית עולה, כאשר <math>c=1</math> קל לראות שהסדרה קבועה, וכאשר <math>0<c<1</math> הסדרה מונוטונית יורדת. | ניתן על כן להוכיח באינדוקציה כי מונוטוניות הסדרה נקבעת על-ידי הזוג הראשון. כאשר <math>c>1</math> הסדרה מונוטונית עולה, כאשר <math>c=1</math> קל לראות שהסדרה קבועה, וכאשר <math>0<c<1</math> הסדרה מונוטונית יורדת. | ||
שורה 22: | שורה 22: | ||
כאשר הסדרה מונוטונית יורדת היא חסומה מלרע על-ידי <math>0</math> ולכן מתכנסת (מונוטונית וחסומה). נמצא את גבולה: | כאשר הסדרה מונוטונית יורדת היא חסומה מלרע על-ידי <math>0</math> ולכן מתכנסת (מונוטונית וחסומה). נמצא את גבולה: | ||
− | נסמן <math>\lim a_n=L</math> ולכן <math>\lim a_{n+1}=L</math> ולכן: | + | נסמן <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n=L</math> ולכן <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=L</math> ולכן: |
:<math>L^2=L</math> | :<math>L^2=L</math> | ||
− | כלומר <math>L</math> שווה ל- <math>1</math> או <math>0</math>. | + | כלומר <math>L</math> שווה ל- <math>1</math> או <math>0</math> . כיון שאנו עוסקים במקרה בו <math>c<1</math> והסדרה מונוטונית יורדת, <math>L=\lim\limits_{n\to\infty}a_n\le c<1</math> ולכן הגבול שווה <math>0</math> . |
באופן דומה, כאשר הסדרה מונוטונית עולה, אם היא הייתה מתכנסת גבולה היה גדול מ- <math>1</math> בסתירה. | באופן דומה, כאשר הסדרה מונוטונית עולה, אם היא הייתה מתכנסת גבולה היה גדול מ- <math>1</math> בסתירה. | ||
שורה 43: | שורה 43: | ||
===ד=== | ===ד=== | ||
− | <math>\ | + | <math>\left(1+\frac{3n}{n^2+1}\right)^n=\left(1+\frac{1}{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}\right)^{n\cdot\frac{\frac{n}{3}+\frac{1}{3n}}{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}}=\left(1+\frac1{\frac{n}{3}+\frac{1}{3n}}\right)^{\left(\frac{n}{3}+\frac{1}{3n}\right)\cdot{\frac{n}{\frac{n}{3}+\frac{1}{3n}}}}\to e^3</math> |
− | =\ | + | |
===ה=== | ===ה=== | ||
− | לפי משפט אם הגבול <math>\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=L</math> קיים, אזי מתקיים ש- <math>\lim\sqrt[n]{a_n}=L</math> (בכיוון ההפוך זה לא נכון) | + | לפי משפט אם הגבול <math>\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=L</math> קיים, אזי מתקיים ש- <math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=L</math> (בכיוון ההפוך זה לא נכון) |
לכן מספיק לחשב את הגבול הראשון, במקרה זה: | לכן מספיק לחשב את הגבול הראשון, במקרה זה: | ||
<math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\big(2(n+1)\big)!(n!)^2}{\big((n+1)!\big)^2(2n)!}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2}=\frac{2(n+1)(2n+1)}{(n+1)^2}=\frac{4n+2}{n+1}\to 4</math> | <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\big(2(n+1)\big)!(n!)^2}{\big((n+1)!\big)^2(2n)!}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2}=\frac{2(n+1)(2n+1)}{(n+1)^2}=\frac{4n+2}{n+1}\to 4</math> |
גרסה מ־09:08, 7 בנובמבר 2016
1
L הנו גבול הסדרה אם לכל קיים מקום בסדרה כך שלכל מתקיים .
L אינו גבול הסדרה אם קיים כך שלכל מקום בסדרה קיים כך ש- .
2
משיעורי הבית
3
משיעורי הבית
4
כיון שהאבר הראשון חיובי, ושאר האברים הם ריבועים, קל לראות כי כל הסדרה חיובית. לכן
ניתן על כן להוכיח באינדוקציה כי מונוטוניות הסדרה נקבעת על-ידי הזוג הראשון. כאשר הסדרה מונוטונית עולה, כאשר קל לראות שהסדרה קבועה, וכאשר הסדרה מונוטונית יורדת.
כאשר הסדרה מונוטונית קבועה, היא קבוע ולכן זהו גבולה.
כאשר הסדרה מונוטונית יורדת היא חסומה מלרע על-ידי ולכן מתכנסת (מונוטונית וחסומה). נמצא את גבולה:
נסמן ולכן ולכן:
כלומר שווה ל- או . כיון שאנו עוסקים במקרה בו והסדרה מונוטונית יורדת, ולכן הגבול שווה .
באופן דומה, כאשר הסדרה מונוטונית עולה, אם היא הייתה מתכנסת גבולה היה גדול מ- בסתירה.
5
משיעורי הבית
6
א
חסומה כפול שואפת ל- לכן שואף ל-
ב
ג
ולכן
ד
ה
לפי משפט אם הגבול קיים, אזי מתקיים ש- (בכיוון ההפוך זה לא נכון)
לכן מספיק לחשב את הגבול הראשון, במקרה זה: