מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1/פתרון דוגמא 1: הבדלים בין גרסאות בדף

גרסה אחרונה מ־17:55, 16 בפברואר 2017

דוגמא.

מצא עבור אילו ערכי [math]\displaystyle{ x }[/math] מתקיים אי-השוויון הבא:

[math]\displaystyle{ |x^2-1|+|x-2|\gt 4x+5 }[/math]

פתרון.

על-מנת לפתור את אי-השוויון נחלק את האפשרויות של המשתנה [math]\displaystyle{ x }[/math] למקרים שונים בהם אנחנו יודעים עבור כל אחד מהביטויים בתוך ערך מוחלט אם הוא חיובי או שלילי.

בכל אחד מהמקרים שנקבל, נוכל לדעת האם אפשר להסיר את הערך המוחלט או להחליף אותו בסימן מינוס.

חלוקה למקרים

ראשית, נבדוק עבור כל אחד מהביטויים מתחת לערך המוחלט, בנפרד, מתי הם שליליים ומתי הם חיוביים:

[math]\displaystyle{ x^2-1\ge0 }[/math]

אם ורק אם:

[math]\displaystyle{ x\ge1 }[/math] או [math]\displaystyle{ x\le-1 }[/math]

[math]\displaystyle{ x-2\ge0 }[/math]

אם ורק אם:

[math]\displaystyle{ x\ge2 }[/math]

ביחד אנו מקבלים את המקרים הבאים:

עבור [math]\displaystyle{ x\ge2 }[/math]

מתקיים [math]\displaystyle{ x^2-1\ge0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ x-2\ge0 }[/math]

עבור [math]\displaystyle{ 1\le x\lt 2 }[/math] או [math]\displaystyle{ x\le-1 }[/math]

מתקיים [math]\displaystyle{ x^2-1\ge0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ x-2\lt 0 }[/math]

עבור [math]\displaystyle{ -1\lt x\lt 1 }[/math]

מתקיים [math]\displaystyle{ x^2-1\lt 0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ x-2\lt 0 }[/math]

פתרון אי-השוויון בכל אחד מן המקרים

נבדוק עבור אילו ערכי [math]\displaystyle{ x }[/math] מתוך כל אחד מהמקרים לעיל מתקיים אי-השוויון.

עבור [math]\displaystyle{ x\ge2 }[/math] אי-השוויון נראה כך:

[math]\displaystyle{ \begin{align}x^2-1+x-2\gt 4x+5\\x^2-3x-8\gt 0\end{align} }[/math]

נמצא מהם ערכי [math]\displaystyle{ x }[/math] שגם נמצאים בתחום אותו אנו בודקים וגם מקיימים את אי-השוויון:

[math]\displaystyle{ \begin{cases}x\ge2\\x^2-3x-8\gt 0\end{cases} }[/math]

ערכי [math]\displaystyle{ x }[/math] אשר מקיימים את שתי אי-השוויונות לעיל הם

[math]\displaystyle{ x\gt \dfrac{3+\sqrt{41}}{2} }[/math]

לכן ערכי [math]\displaystyle{ x }[/math] אשר גם נמצאים בתחום וגם אינם מקיימים את אי-השוויון הם

[math]\displaystyle{ 2\le x\le\dfrac{3+\sqrt{41}}{2} }[/math]

כלומר, בתוך התחום בו אנו עוסקים כעת, אנו יודעים בדיוק מתי מתקיים אי-השוויון ומתי אינו מתקיים. נמשיך אל התחומים הבאים:

עבור [math]\displaystyle{ 1\le x\lt 2 }[/math] או [math]\displaystyle{ x\le-1 }[/math] אי-השוויון נראה כך:

[math]\displaystyle{ \begin{align}x^2-1-(x-2)\gt 4x+5\\x^2-5x-4\gt 0\end{align} }[/math]

מסתבר שערכי [math]\displaystyle{ x }[/math] שגם נמצאים בתחום אותו אנו בודקים וגם מקיימים את אי-השוויון הם:

[math]\displaystyle{ x\le-1 }[/math]

ואילו ערכי [math]\displaystyle{ x }[/math] שנמצאים בתחום ואינם מקיימים את אי-השוויון הם:

[math]\displaystyle{ 1\le x\lt 2 }[/math]

נסיים במקרה הנותר:

עבור [math]\displaystyle{ -1\lt x\lt 1 }[/math] אי-השוויון נראה כך:

[math]\displaystyle{ \begin{align}-x^2+1-x+2\gt 4x+5\\x^2+5x+2\lt 0\end{align} }[/math]

ערכי [math]\displaystyle{ x }[/math] אשר גם נמצאים בתחום וגם מקיימים את אי-השוויון הם:

[math]\displaystyle{ -1\lt x\lt \dfrac{\sqrt{17}-5}{2} }[/math]

ואילו ערכי [math]\displaystyle{ x }[/math] בתחום שאינם מקיימים את אי-השוויון הנם:

[math]\displaystyle{ \dfrac{\sqrt{17}-5}{2}\le x\lt 1 }[/math]

סיכום התוצאות

אי-השוויון מתקיים עבור ערכי [math]\displaystyle{ x }[/math] הבאים:

[math]\displaystyle{ \begin{align}x&\gt \dfrac{3+\sqrt{41}}{2}\\x&\lt \dfrac{\sqrt{17}-5}{2}\end{align} }[/math]

@@ שורה 2: / שורה 2: @@
-'''דוגמא''':
+;דוגמא.
+מצא עבור אילו ערכי <math>x</math> מתקיים אי-השוויון הבא:
+*<math>|x^2-1|+|x-2|>4x+5</math>
-מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:
+;פתרון.
+על-מנת לפתור את אי-השוויון נחלק את האפשרויות של המשתנה <math>x</math> למקרים שונים בהם אנחנו יודעים עבור כל אחד מהביטויים בתוך ערך מוחלט אם הוא חיובי או שלילי.
-*<math>|x^2-1| + |x-2|>4x+5</math>
-'''פתרון''':
-על מנת לפתור את אי השיוויון נחלק את האפשרויות של המשתנה x למקרים שונים בהם אנחנו יודעים עבור כל אחד מהביטויים בתוך ערך מוחלט אם הוא חיובי או שלילי.
 בכל אחד מהמקרים שנקבל, נוכל לדעת האם אפשר להסיר את הערך המוחלט או להחליף אותו בסימן מינוס.
 ===חלוקה למקרים===
 ראשית, נבדוק עבור כל אחד מהביטויים מתחת לערך המוחלט, בנפרד, מתי הם שליליים ומתי הם חיוביים:
+*<math>x^2-1\ge0</math>
-*<math>x^2-1\geq 0</math>
 אם ורק אם:
-<math>x\geq 1</math> '''או''' <math>x \leq -1</math>
+<math>x\ge1</math> '''או''' <math>x\le-1</math>
-*<math>x-2\geq 0</math>
+*<math>x-2\ge0</math>
 אם ורק אם:
-<math>x\geq 2</math>
+<math>x\ge2</math>
 ביחד אנו מקבלים את המקרים הבאים:
+*עבור <math>x\ge2</math>
-*עבור <math>x\geq 2</math>
+מתקיים <math>x^2-1\ge0</math> '''וגם''' <math>x-2\ge0</math>
-מתקיים <math>x^2-1\geq 0</math> '''וגם''' <math>x-2\geq 0</math>
-*עבור <math>1\leq x < 2</math> '''או''' <math>x\leq -1</math>
+*עבור <math>1\le x<2</math> '''או''' <math>x\le-1</math>
-מתקיים <math>x^2-1\geq 0</math> '''וגם''' <math>x-2< 0</math>
+מתקיים <math>x^2-1\ge0</math> '''וגם''' <math>x-2<0</math>
@@ שורה 56: / שורה 43: @@
 *עבור <math>-1<x<1</math>
+מתקיים <math>x^2-1<0</math> '''וגם''' <math>x-2<0</math>
-מתקיים <math>x^2-1< 0</math> '''וגם''' <math>x-2< 0</math>
+===פתרון אי-השוויון בכל אחד מן המקרים===
+נבדוק עבור אילו ערכי <math>x</math> מתוך כל אחד מהמקרים לעיל מתקיים אי-השוויון.
-===פתרון אי השיוויון בכל אחד מן המקרים===
-נבדוק עבור אילו ערכי x מתוך כל אחד מהמקרים לעיל מתקיים אי השיוויון.
+*עבור <math>x\ge2</math> אי-השוויון נראה כך:
+:<math>\begin{align}x^2-1+x-2>4x+5\\x^2-3x-8>0\end{align}</math>
-*עבור <math>x\geq 2</math> אי השיוויון נראה כך:
+נמצא מהם ערכי <math>x</math> ש'''גם''' נמצאים בתחום אותו אנו בודקים ו'''גם''' מקיימים את אי-השוויון:
-::<math>x^2-1+x-2>4x+5</math>
+:<math>\begin{cases}x\ge2\\x^2-3x-8>0\end{cases}</math>
-::<math>x^2-3x-8>0</math>
+ערכי <math>x</math> אשר מקיימים את שתי אי-השוויונות לעיל הם
-נמצא מהם ערכי x ש'''גם''' נמצאים בתחום אותו אנו בודקים ו'''גם''' מקיימים את אי השיוויון:
+:<math>x>\dfrac{3+\sqrt{41}}{2}</math>
-::<math>\begin{cases}x\geq 2 \\ x^2-3x-8>0\end{cases}</math>
+לכן ערכי <math>x</math> אשר '''גם''' נמצאים בתחום ו'''גם אינם''' מקיימים את אי-השוויון הם
-ערכי x אשר מתקיים את שתי אי השיוויונים לעיל הם
+:<math>2\le x\le\dfrac{3+\sqrt{41}}{2}</math>
-::<math>x> \frac{3+\sqrt{41}}{2}</math>
+כלומר, בתוך התחום בו אנו עוסקים כעת, אנו יודעים '''בדיוק''' מתי מתקיים אי-השוויון ומתי אינו מתקיים. נמשיך אל התחומים הבאים:
-לכן ערכי x אשר '''גם''' נמצאים בתחום ו'''גם אינם''' מקיימים את אי השיוויון הם
+*עבור <math>1\le x<2</math> '''או''' <math>x\le-1</math> אי-השוויון נראה כך:
+:<math>\begin{align}x^2-1-(x-2)>4x+5\\x^2-5x-4>0\end{align}</math>
-::<math>2\leq x \leq \frac{3+\sqrt{41}}{2} </math>
+מסתבר שערכי <math>x</math> ש'''גם''' נמצאים בתחום אותו אנו בודקים ו'''גם''' מקיימים את אי-השוויון הם:
+:<math>x\le-1</math>
+ואילו ערכי <math>x</math> שנמצאים בתחום ואינם מקיימים את אי-השוויון הם:
+:<math>1\le x<2</math>
-כלומר, בתוך התחום בו אנו עוסקים כעת, אנו יודעים '''בדיוק''' מתי מתקיים אי השיוויון ומתי אינו מתקיים. נמשיך אל התחומים הבאים:
-*עבור <math>1\leq x < 2</math> '''או''' <math>x\leq -1</math>  אי השיוויון נראה כך:
-::<math>x^2-1-(x-2)>4x+5</math>
-::<math>x^2-5x-4>0</math>
-מסתבר שערכי x ש'''גם''' נמצאים בתחום אותו אנו בודקים ו'''גם''' מקיימים את אי השיוויון הם:
-::<math>x\leq -1</math>
-ואילו ערכי x שנמצאים בתחום ואינם מקיימים את אי השיוויון הם:
-::<math>1\leq x < 2</math>
@@ שורה 117: / שורה 87: @@
 נסיים במקרה הנותר:
+*עבור <math>-1<x<1</math> אי-השוויון נראה כך:
+:<math>\begin{align}-x^2+1-x+2>4x+5\\x^2+5x+2<0\end{align}</math>
-*עבור <math>-1<x<1</math> אי השיוויון נראה כך:
+ערכי <math>x</math> אשר '''גם''' נמצאים בתחום ו'''גם''' מקיימים את אי-השוויון הם:
-::<math>-x^2+1-x+2>4x+5</math>
+:<math>-1<x<\dfrac{\sqrt{17}-5}{2}</math>
-::<math>-x^2-5x-2 > 0</math>
+ואילו ערכי <math>x</math> בתחום שאינם מקיימים את אי-השוויון הנם:
+:<math>\dfrac{\sqrt{17}-5}{2}\le x<1</math>
-ערכי x אשר '''גם''' נמצאים בתחום ו'''גם''' מקיימים את אי השיוויון הם:
-::<math>-1<x<\frac{5-\sqrt{17}}{-2}</math>
-ואילו ערכי x בתחום שאינם מקיימים את אי השיוויון הינם:
-::<math>\frac{5-\sqrt{17}}{-2}\leq x<1</math>
 ===סיכום התוצאות===
+אי-השוויון מתקיים עבור ערכי <math>x</math> הבאים:
-אי השיוויון מתקים עבור ערכי x הבאים:
+*<math>\begin{align}x&>\dfrac{3+\sqrt{41}}{2}\\x&<\dfrac{\sqrt{17}-5}{2}\end{align}</math>
-* <math>x> \frac{3+\sqrt{41}}{2}</math>
-* <math>x<\frac{5-\sqrt{17}}{-2}</math>