הבדלים בין גרסאות בדף "פתרונות לקורס לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - תרגיל 4"
(דף חדש: =תרגיל 4= *שימו לב - זה לא פתרון רשמי של ארז, אלא הפתרון שלי לתרגיל. --Ohad Abarbanel 11:48, 8 בדצמבר …) |
(אין הבדלים)
|
גרסה מ־00:52, 9 בדצמבר 2009
תוכן עניינים
תרגיל 4
- שימו לב - זה לא פתרון רשמי של ארז, אלא הפתרון שלי לתרגיל. --Ohad Abarbanel 11:48, 8 בדצמבר 2009 (UTC)
שאלה 1
הטענה לא נכונה. דוגמה נגדית:
הריבוי הגיאומטרי של 2 בשתי המטריצות הוא 3. המטריצות לא דומות כיוון שצורת הז'ורדן שלהן (הן עצמן) שונות.
שאלה 2
סעיף א'
סעיף ב'
סעיף ג'
שאלה 3
סעיף א'
A משולשית, לכן אברי האלכסון הם הע"ע של A כולל הריבוי האלגברי, לכן .
נמצא את הפולינום המינימלי:
נבדוק את :
נבדוק את :
האפשרות היחידה שנותרה היא לכן הפולינום המינימלי הוא , לכן מטריצת הז'ורדן של A היא:
סעיף ב'
נניח שהפולינום המינימלי של I-A הוא ממעלה הקטנה מ-4, כלומר קיים כך ש , כלומר:
אם נפתח סוגריים נקבל פולינום ממעלה הקטנה מ-4 המאפס את A, וזוהי סתירה למינימליות של הפולינום המינימלי שמצאנו ב-א', לכן הפולינום המינימלי של I-A הוא ממעלה 4, והאפשרות היחידה היא , לכן מטריצת הז'ורדן של I-A היא:
צורות הז'ורדן של A ושל I-A שוות לכן .
שאלה 4
נמצא את :
נמצא את
:
נבדוק את :
לכן הפולינום המינימלי הוא .
נבדוק האם
:
מצאנו ש לכן בהכרח A לא דומה ל-B.
שאלה 5
חלק ראשון - שאלה 1
סעיף א'
לפי המשפט היסודי של האלגברה לכל פולינום ממעלה n יש n שורשים מרוכבים, לכן מתפרק לגורמים לינאריים מעל . לפי משפט השילוש קיימת מטריצה B משולשת כך ש , כלומר קיימת מטריצה P הפיכה כך ש , לכן מתקיים:
על אלכסון המטריצה B נמצאים הערכים העצמיים של A, ו-B משולשית לכן שווה למכפלת אברי האלכסון שהיא מכפלת הערכים העצמיים של A.
לכן היא מכפלת הערכים העצמיים של A.
סעיף ב'
נניח בשלילה שקיימת כך ש .
ל-A יש 3 ערכים עצמיים (לא בהכרח שונים). נסמנם .
לכן לפי א' .
לפי ההנחה, , לכן:
מכיוון ש , מתקיים לכן גם וזו סתירה לכך ש , לכן לא קיימת כך ש .
חלק שני - שאלה 5
סעיף א'
ריבוי אלגברי של ע"ע הוא המספר הגדול ביותר כך ש .
ריבוי גיאומטרי של ע"ע הוא כאשר .
סעיף ב'
נמצא את :
נמצא את הפולינום המינימלי:
נבדוק את :
האפשרות היחידה שנותרה לפולינום המינימלי היא .
לפי משפט בלוק הז'ורדן הגדול ביותר של 2 במטריצת הז'ורדן של A הוא בגודל 2 ובלוק הז'ורדן הגדול ביותר של 3 הוא 1, לכן מטריצת הז'ורדן של A היא: