הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזה מתקדמת למורים תרגול 3"

גרסה מ־11:48, 13 בנובמבר 2018

הגדרות

הגדרה של סדרה אינסופית - נסתפק בתרגול בהבנה אינטואיטיבית, פשוטו כמשמעו....

גבול של סדרה: נאמר שסדרה $\{z_n\}$ מתכנסת לגבול $z$ ונסמן $z_n\to z$ אם מתקיים $|z_n-z|\to 0$ , כאשר הדבר האחרון מוגדר כבר באינפי 1 כי זו סדרה של ממשיים.

דוגמאות

1. $z_n=1+(1+\frac{1}{n})^ni\to 1+ei$ . הוכחה: $|z_n-z|=|1+(1+\frac{1}{n})^ni-(1+ei)|=|((1+\frac{1}{n})^n-e)i|=|((1+\frac{1}{n})^n-e)|\cdot |i|=|((1+\frac{1}{n})^n-e)|\to 0$ , כאשר השאיפה בסוף נובעת מהידוע לנו מאינפי 1.

2. $z_n=\frac{n^2+1}{2n^2+3n-2}-2i\to 0.5-2i$ בדומה...

טענות

בדומה לסדרות של ממשיים, מתקיים:

1. $z_n\to z\Rightarrow \forall c\in \mathbb{C} c\cdot z_n\to c\cdot z$

2. $z_n\to z,w_m\to w\Rightarrow z_n+w_n\to z+w$

3. $z_n\to z,w_m\to w\Rightarrow z_n\cdot w_n\to z\cdot w$

הוכחה:

1. $|cz_n-cz|=|c(z_n-z)|=|c|\cdot |z_n-z|\to 0$

2. $|(z_n+w_n)-(z+w)|=|(z_n-z)+(w_n-w)|\leq |z_n-z|+|w_n-w|\to 0$

3. $|z_n\cdot w_n-zw|=|z_n w_n-z_nw+z_nw-zw|=|z_n(w_n-w)+w(z_n-z)|\leq |z_n(w_n-w)|+|w(z_n-z)|=|Z_n|\cdot |w_n-w_+|w|\cdot |z_n-z|$

כעת, מהמשפט שאם סדרה מתכנסת אז גם סדרת הנורמות מתכנסת נקבל שהכל שואף לאפס.

@@ שורה 20: / שורה 20: @@
 . <math>z_n\to z,w_m\to w\Rightarrow z_n+w_n\to z+w</math>
+. <math>z_n\to z,w_m\to w\Rightarrow z_n\cdot w_n\to z\cdot w</math>
 הוכחה:
@@ שורה 26: / שורה 28: @@
 . <math>|(z_n+w_n)-(z+w)|=|(z_n-z)+(w_n-w)|\leq |z_n-z|+|w_n-w|\to 0</math>
+. <math>|z_n\cdot w_n-zw|=|z_n w_n-z_nw+z_nw-zw|=|z_n(w_n-w)+w(z_n-z)|\leq |z_n(w_n-w)|+|w(z_n-z)|=|Z_n|\cdot |w_n-w_+|w|\cdot |z_n-z|</math>
+כעת, מהמשפט שאם סדרה מתכנסת אז גם סדרת הנורמות מתכנסת נקבל שהכל שואף לאפס.

הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזה מתקדמת למורים תרגול 3"

גרסה מ־11:48, 13 בנובמבר 2018

הגדרות

דוגמאות

טענות

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים