המספר e

לסדרה [math]\displaystyle{ a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n }[/math] יש גבול ממשי (כפי שמוכח בהמשך). אנו מגדירים את המספר e להיות גבול הסדרה הזו.

[math]\displaystyle{ e:=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n }[/math]

משפט. תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, אזי [math]\displaystyle{ e=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n} }[/math]

משפט. תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, ותהי [math]\displaystyle{ b_n }[/math] סדרה המתכנסת (במובן הצר, או במובן הרחב) לגבול L. אזי [math]\displaystyle{ e^L=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n\cdot b_n} }[/math]

תרגיל.

חשב את גבול הסדרה [math]\displaystyle{ a_n=\left(1-\frac{1}{n}\right)^n }[/math]

פתרון. נפתח את הסדרה על מנת לקבל ביטוי מהצורה של המשפט למעלה.

[math]\displaystyle{ \left(1-\frac{1}{n}\right)^n=\left(\frac{n-1}{n}\right)^n=\left(\left(\frac{n}{n-1}\right)^{-1}\right)^n= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{-n}=\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{(n-1)\frac{-n}{n-1}} }[/math]

כיון ש- [math]\displaystyle{ \frac{-n}{n-1}\to(-1) }[/math] אנו מקבלים כי

[math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n=e^{-1}=\frac{1}{e} }[/math]

תכונות

הסדרה [math]\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n }[/math] מתכנסת לגבול ממשי, וכמו כן לכל מספר טבעי n מתקיים כי:

[math]\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\lt e\lt \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} }[/math]

הוכחה

אפשר להוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה, ונוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת.

מובן מאליו כי

[math]\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\lt \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} }[/math]

אם כך, שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.

כמו כן:

[math]\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)\to e\cdot1 }[/math]

וביחד אנו מקבלים את מה שרצינו להוכיח, כיוון שסדרה מונוטונית עולה תמיד קטנה מגבולה, וסדרה מונוטונית יורדת גדולה מגבולה.

נוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת:

נסמן

[math]\displaystyle{ a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} }[/math]

רוצים להוכיח

[math]\displaystyle{ a_{n+1}\lt a_n }[/math]

כלומר

[math]\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+2}\lt \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} }[/math]

נפתח את אי-השוויון:

[math]\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\lt \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{n+1}\right)\lt \left(\frac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n+1}}\right)^{n+1}=\left(\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}\right)^{n+1}=\left(1+\frac{1}{n(n+2)}\right)^{n+1} }[/math]

כעת נשים לב כי לפי פיתוח הבינום של ניוטון מתקיים:

[math]\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{n(n+2)}\right)^{n+1}=1+\frac{n+1}{n(n+2)}+\cdots\gt 1+\frac{n+1}{n(n+2)} }[/math]

לכן מספיק להוכיח כי

[math]\displaystyle{ 1+\frac{1}{n+1}\lt 1+\frac{n+1}{n(n+2)} }[/math]

אבל קל לראות כי אי שיוויון זה מתקיים תמיד:

[math]\displaystyle{ 1\lt \frac{(n+1)^2}{n(n+2)}=\frac{n^2+2n+1}{n^2+2n} }[/math]

דוגמאות

תרגיל.

מצא את גבול הסדרה [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=\sqrt[n]{\frac{n^n}{n!}} }[/math]

לכן לפי משפט אם [math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}\to L }[/math] אזי גם [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{a_n}\to L }[/math] .

לכן הגבול הנו:

[math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{n+1}n!}{n^n(n+1)!}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{n}}{n^n}=e }[/math]