את משפט 3 לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-24.5.11. חלק זה מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.
טורי חזקות (המשך)
משפט 4
נניח שלטור יש רדיוס התכנסות
, אזי:
- f גזירה אינסוף פעמים בקטע
ולכל
מתקיים
. רדיוס ההתכנסות של הטורים הגזור הוא R.
- לכל
,
, ז"א הטור הוא טור טיילור של f סביב
.
הוכחה
- באינדוקציה, בעזרת משפט 3.
- הוכחנו בסעיף 1 ש-
. נציב
ונקבל
, כלומר
.
מסקנה (משפט היחידות לטורי חזקות)
נניח ששני טורי חזקות בקטע שלם, כלומר לכל
, אזי
.
הוכחה
נגדיר פונקציה גבולית .
עפ"י סעיף 2 של משפט 4 מתקיים
.
הערה
חשוב לא להתבלבל: יתכן בהחלט מצב בו אבל
עבור n כלשהו.
דוגמאות
- נמצא טור מקלורין של
עבור הפונקציה
: ידוע לנו ש-
עבור
. לפי משפט 4 טור זה הוא בהכרח טור טיילור של f סביב 0, כלומר זה טור מקלורן של f.
- נמצא טור טיילור של
סביב
, ז"א
.
דרך 1:נציבלקבל
ולכן הטור הוא
. לצערנו עדיין לא ניתן לדעת בוודאות שהטור אכן מתכנס ל-f כי לא וידאנו שהשארית שואפת ל-0.
דרך 2:. בניסיון השני קיבלנו את אותה התוצאה מהר יותר, והפעם אנו גם יודעים שהטור מתכנס ל-f כאשר
, כלומר כש-
.
נסכם:בקטע
ויש כאן שני טורי חזקות שונים לגמרי שמתכנסים לאותה פונקציה. זה לא סותר את משפט היחידות כי לטורים אלה יש מרכז שונה.
- נמצא את טור מקלורין של
, ונקבע את תחום ההתכנסות של הטור ל-f.
דרך 1: טור מקלורין הוא, כאשר
מכאן ואילך לא נעים לגזור, ולכן נוותר על הדרך הזו.
דרך 2: תחילה נחשב טור מקלורין לפונקציהואז נוכל לקבל את הטור עבור
ע"י אינגרציה איבר-איבר. כעת:
עבור
, ז"א
. עתה נעשה אינטגרציה:
לכל
, ולכן
. עפ"י משפט היחידות לטורי חזקות נסיק שזה טור מקלורין של
בתחום
.
אם מותר להציב
אז נקבל את המשוואה היפה
, אבל מכיוון שלא מתקיים
צריך להוכיח זאת (את ההוכחה ניתן בהרצאה הבאה). עם זאת, ניתן כבר עכשיו לדעת בוודאות ש-
.
- מצאו את טור טיילור ל-
סביב
וקבעו באיזה תחום הטור מתכנס ל-
.
דרך 1: לפי הנוסחה לטור טיילור נקבלואז נבדוק מתי השארית
שואפת ל-0.
דרך 2:ולכן תחילה נפתח
:
כאשר
. כעת
בתחום
.
עבור
לא מתקיים
, אבל אם בכל זאת ההצבה הזו נכונה אז נקבל
(בהרצאה הבאה נוכיח שזה נכון).
- (תרגיל ממבחן) נגדיר
. מצאו
: לכל
מתקיים
ונציב
לקבל
. לפי משפט 4 מתקיים המקדם
של
מקיים
ולכן
.
מבוא למשוואות דיפרנציאליות רגילות (מד"ר)
הגדרה: מד"ר היא משוואה המקשרת, פונקציה נעלמת, נגזרותיה העוקבות ופונקציות אחרות ידועות.
דוגמאות
-
היא מד"ר, שפתרונה הוא
עבור קבוע c כלשהו.
- גם
היא מד"ר, ופתרונה
עבור קבוע a.
-
. ניתן להוכיח שכל הפתרונות האפשריים הם מהצורה
עבור a,b קבועים.
- (דוגמה יותר קשה) נמצא פתרון כללי ל-
וגם פתרון כך ש-
: נעיר שניתן להוכיח שהפתרון אינו פונקציה אלמנטרית ולכן אין טעם לנחש. במקום, נניח שיש פתרון מהסוג
עם רדיוס התכנסות
. לפיכך
. צריך להתקיים
ולכן
ולאחר הזזת אינדקסים נקבל:
. את ההמשך עשינו בהרצאה שאחריה: ממשפט היחידות לטורי חזקות מתקיים
. מכאן ש-
קבועים כלשהם,
, ו-
, לכן
. מכאן נובע ש-{{left|עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \begin{align}f(x)&=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\\&=a_0+a_1x+\frac{a_1}{3\cdot2}x^3+\frac{a_1}{4\cdot3}x^4+\frac{a_0}{6\cdot5\cdot3\cdot2}x^6+\frac{a_1}{7\cdot6\cdot4\cdot3}x^7+\dots\\&=a_0\left(1+\frac{x^3}{3\cdot2}+\frac{x^5}{6\cdot5\cdot3\dot2}+\dots\right)+a_1\left(x+\frac{x^4}{4\cdot3}+\frac{x^7}{7\cdot6\cdot4\cdot3}+\dots\right)
. נבדוק שהטורים האלה מתכנסים: בטור שמוכפל ב-, היחס בין שני איברים עוקבים הוא
, ששואף ל-0, ולכן רדיוס ההתכנסות הוא (ממבחן המנה)
. באופן דומה מקבלים שרדיוס ההתכנסות של הטור המוכפל ב-
הוא
ולכן
הנ"ל מוגדרת לכל x כך ש-
, כלומר
. לפי משפט 4 טורים אלו גזירים אינסוף פעמים ובפרט פעמיים ב-
. כמו כן נעיר שניתן להוכיח שקיבלנו את הפתרון הכללי למד"ר, ולכן נותר רק לבדוק מתי
: נזכר ש-
ולכן
, כלומר
וגם
, כלומר
. מציבים ערכים אלו של
בפתרון הכללי שמצאנו ל-
וסיימנו את התרגיל.