(המבחן )
חלק א'
1) התשובה היא ב'.
שלא כמו בלמה של קנטור, חסרה ההנחה של שאיפת גודל ההפרש ל-0. היא סדרה עולה החסומה מלעיל ע"י (באינדוקציה - גדולה יותר מכל שאר אברי שגדולים יותר מכל אברי ) ולכן מתכנסת. בצורה דומה, היא סדרה יורדת החסומה מלרע ע"י ולכן מתכנסת. פוסל את ג', ד'. נותר להראות באמצעות דוגמא את ב':
דוגמא:
2) התשובה היא ב'.
הפרכה לג', ד': . ברור אבל . אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'. ב' נכון שכן .
(נובע ישירות מההגדרות, שכן אם אז .)
פורמלית: יהי . מתקיים ולכן לכל קיים כך ש- , כלומר כך ש- .
3) ד'. או 0 נקודות. שתי דוגמאות: . באחת יש אינסוף נקודות (סדרה מתכנסת ולכן חסומה, ולכן כל מה שגדול מהחסם העליון שלה), בשניה נניח בשלילה שיש נקודה בחיתוך ונתבונן במקום , כלומר בקטע שלא מכיל את כלל, בסתירה.
4) התשובה היא ד'.
הפרכה לא', ב', ג': נגדיר
אז ברור שההרכבה רציפה, שכן והוכחנו רציפות כל הפונקציות הלינאריות.
אינן רציפות ב-9, ולכן זאת הפרכה ל-ג' והוכחה ל-ד'.
5)
- עבור מקבלים טור מתכנס לפי לייבניץ, מה שפוסל את ג',ד'.
- עבור הטור מתכנס (ל-0) מה שפוסל את ב'. עבור מקבלים , שמתבדר לפי העיבוי כי . פוסל את א'.
לכן נותרנו רק עם ה', שהיא התשובה הנכונה. (ישירות, נראה שהטור מתכנס בהחלט עבור , ובפרט מתכנס, ואז נבדוק את המקרים הנותרים.)
6 הורוביץ) ברור שב'. הפרכה לא',ג':
עולה ממש ואינה רציפה בקטע .
הוכחת ב': בשלילה, .
בסתירה לכך ש- עולה ממש, שהרי בה"כ ולכן בסתירה להיותם שווים.
6 זלצמן וקליין) ג'. ד"ר שיין הוכיח טענה כמעט זהה - 7.8.
- הוכחה
עולה ממש ולכן לפי ההשאלה הקודמת היא חח"ע. גזירה ב- ובפרט רציפה בסביבתה. לכן הפונקציה ההפוכה מוגדרת ורציפה בסביבת . כעת, לפי ההנחה גזירה ב- ולכן .
מכאן נקבל , בהנחה שהנגזרת שונה מ-0 . לכן ובפרט קיים. לכן הפונקציה ההפוכה גזירה ב- . בכיוון ההפוך, נראה את ה- contrapositive: אם הפונ' ההפוכה גזירה אז הנגזרת שווה להופכי של הנגזרת של , ולכן הנגזרת שונה מ-0 (זה לא נימוק לגמרי פורמלי).
חלק ב'
7)
זהו שיפוע המשיק.
כעת, נציב במשוואת ישר עם הנקודה ונקבל:
8) היה במערכי התרגול [[1]] עבור סכום עד . הפתרון כמעט זהה. נראה שהיא מונוטונית וחסומה:
ולכן הסדרה היא מונוטונית יורדת. באינדוקציה הסדרה חסומה מלרע ע"י (כי סכום חיוביים הוא חיובי). לכן הסדרה מתכנסת.
9) הטור מתבדר, שכן התנאי הההכרחי אינו מתקיים; הסדרה אינה שואפת ל-0 כאשר אלא שואפת לאינסוף.
(המשפט הקודם נכון, אבל זוועתי להוכחה, ויש דרך קלה:)
בשביל לבדוק התכנסות בהחלט, נשתמש במבחן קושי: נחפש את הגבול העליון של .
קיבלנו גורם 8, גורם , וגורם 1. לכן הגבול, ובפרט הגבול העליון, הוא , (מסכן מי ששכח להביא מחשבון - זה יוצא די קרוב ל-1) ולכן הטור הנתון אינו מתכנס בהחלט. יתרה מכך, עפ"י המשפט שהוכחנו (משפט קושי המעודן, לתלמידי ד"ר שיין) נובע מכך שהטור המקורי מתבדר.
חלק ג'
10)
- הפרכה
ניקח .
לפי לייבניץ הטור מתכנס, וברור כי שכן , אבל המכפלה מתבדרת לפי מבחן העיבוי, שיעורי הבית, הבוחן ומבחן האינטגרל:)
(נגדיר בשביל ענייני תחום-הגדרה, ברור שזה לא משנה)
11) נגדיר פונקציה על-ידי . כעת, נתבונן ב- :
ואילו , ולכן לפי משפט ערך הביניים ל- יש שורש (כלומר היא מתאפסת) בנקודה כלשהי בקטע .
באותו האופן, ולכן יש ל- שורש בקטע . כל שורש של הוא נקודה בה הפונקציות שוות, ומצאנו שיש לפחות 2 כאלה.
12 זלצמן)
- הוכחה
כיון ש- אז ניתן להגדיר את "מחדש" כפונקציה מפוצלת באופן הבא (מבלי לשנות בעצם את הגדרת ).
רציפה ובעלת מחזור ולכן רציפה במ"ש ב- ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- , ובפרט בקרן החיובית הסגורה .
ידוע ש- רציפה במ"ש ב- ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- , ובפרט בקרן השלילית הסגורה .
לכן רציפה במ"ש ב- וכמו כן ב- . לקרנות הנ"ל יש נקודה משותפת ולכן (לפי משפט ממערכי התרגול) רציפה באיחוד הקרנות, שהוא הישר הממשי כולו.
12 קליין) נגדיר פונקציה על-ידי .
מתאפסת בשתי נקודות שונות בקטע ולכן לפי משפט רול קיימת נקודה בפנים הקטע בה נגזרתה מתאפסת. כלומר . לכן , ומכאן .
12 הורוביץ) פונקציה רציפה בקטע סגור מקבלת בו מקסימום ומינימום (ויירשטראס II). בשלילה, נניח שהאינפימום אינו חיובי, ומיד נקבל סתירה שכן הפונקציה צריכה לקבל את האינפימום שלה, ובנקודה זאת הפונקציה תהיה אי-חיובית, בסתירה.