הקדמה
- אנחנו מעוניינים שבמערכת המספרים שלנו יהיה פתרון למשוואה
(שורש שתיים).
- הרי אחרת, מה המרחק מהנקודה
לראשית הצירים
?
- האם ייתכן שהפרבולה
עולה מהנקודה
אל הנקודה
בלי לחתוך את ציר האיקס?
- כיוון שאין פתרון למשוואה זו בשדה הרציונאליים, אנחנו רוצים לבנות את שדה הממשיים.
- כיצד ניתן לתאר את נקודת החיתוך החיובית של הפרבולה
עם ציר האיקס באמצעות המספרים הרציונאליים אם כך?
(נבנה באמצעות גאוגברה.)
- ובכן, ניתן לומר שציר המספרים מתחלק לשניים - לפני שורש שתיים ואחרי שורש שתיים.
- כלומר, אולי אנחנו יכולים לייצג את נקודת החיתוך על ידי אוסף הנקודות שקטנות ממנה
, זו הקרן באיור.
- הרעיון הזה של חיתוך ציר הרציונאליים סביב נקודה בלתי קיימת הוליד את חתכי דדקינד.
חתכי דדקינד
- הגדרה: חתך דדקינד הוא קבוצה
המקיימת:
חסומה מלעיל.
- לכל
מתקיים כי
אם ורק אם
חסם מלעיל של
- הערות ותזכורות:
- חסם מלעיל של קבוצה הוא מספר שגדול יותר מכל איברי הקבוצה.
- בחתך דדקינד אין מספר גדול ביותר, אחרת זה היה חסם מלעיל ששיך לקבוצה.
- אם מספר שייך לחתך, בוודאי כל מספר נמוך ממנו שייך לחתך הרי לא ייתכן שמספר נמוך ממנו הוא חסם מלעיל.
- הקרן באיור לעיל היא חתך דדקינד שתפקידו להגדיר את שורש שתיים.
- כיצד ניתן להתייחס לקבוצות כאלה בתור מספרים?
- עלינו להגיד פעולות בין חתכי דדקינד ולהוכיח שמדובר בשדה.
- כאשר נגדיר את הפעולות, נזכור שמטרתינו היא להגדיר את הנקודות "החסרות" על הציר.
חיבור חתכי דדקינד
- יהיו שתי חתכים
, נגדיר את החיבור:
- החיבור הוא חתך דדקינד בעצמו:
- כיוון שA,B אינן ריקות גם A+B אינה ריקה.
- סכום חסמי מלעיל של A וB חוסם את A+B.
- יהי
, כיוון שאיברי החתכים אינם חסמי מלעיל, קיימים
וכן
ולכן
ו
אינו חסם מלעיל של
- יהי
שאינו חסם מלעיל של
, לכן קיימים
. כעת
כלומר
אינו חסם מלעיל של B ולכן שייך לקבוצה. סה"כ
.
חתך האפס
- נגדיר את חתך האפס, בהמשך נוכיח שהוא נייטרלי לחיבור.
נגדי
- יהי חתך A, נגדיר את הנגדי:
- לדוגמא
- הנגדי הוא חתך דדקינד בעצמו:
- הנגדי לא ריק:
- כיוון שA חסומה מלעיל יש לה חסם, וכל המספרים שקטנים ממינוס החסם שייכים לנגדי, ולכן
- כיוון שA חסומה מלעיל יש לה חסם, וכל המספרים שקטנים ממינוס החסם שייכים לנגדי, ולכן
- הנגדי חסום מלעיל:
- יהי
לכן לכל
מתקיים כי
ולכן
- לכל
קיים
כך ש
ולכן
- בעצם הנגדי של כל איבר בA הוא חסם מלעיל של
.
- יהי
- כל איבר בנגדי אינו חסם מלעיל:
- לכל איבר בנגדי
לכן אמצע הקטע בין
גדול מ
וקטן מ
ולכן שייך לנגדי
ולכן
אינו חסם מלעיל.
- לכל איבר בנגדי
- אם איבר אינו חסם מלעיל, הוא שייך לנגדי:
- נניח
אינו חסם מלעיל של
לכן קיים
ולכן קיים
כך ש
ולכן
- נניח
- הנגדי לא ריק:
יחס סדר
- יחס ההכלה הוא יחס סדר לינארי (מלא) על קבוצת חתכי דדקינד
- הוכחה:
- יהיו שני חתכים A,B.
- אם קיים
חסם מלעיל של A כך ש
אזי כל איבר של A אינו חסם מלעיל של B ולכן שייך לB, כלומר
- אחרת, לכל
מתקיים כי
. כלומר
ולכן
- נגדיר את החתכים החיוביים להיות כל החתכים A כך ש
ונגדיר את החתכים השליליים על ידי
- טענה:
אם ורק אם
- הוכחה:
- ראשית נניח כי
- כלומר בעצם
ולכן לכל חסם מלעיל
מתקיים כי
.
- לכן לכל
מתקיים כי
- כלומר כל האיברים ב
שליליים, ולכן
כלומר
- כלומר בעצם
- בכיוון ההפוך, נניח כי
- לכן כל האיברים ב
שליליים.
- אם קיים
אזי
בסתירה.
- לכן כל האיברים ב
- לכן כל המספרים השליליים שייכים לA, כלומר
ולכן
- ראשית נניח כי
כפל חתכי דדקינד
- יהיו שני חתכי דדקינד אי שליליים
, נגדיר את הכפל:
- אם A שלילי, וB אי שלילי, נגדיר:
- אם A אי שלילי, וB שלילי, נגדיר:
- אם A,B שליליים נגדיר:
שדה הממשיים
הגדרת המספרים הממשיים
- הגדרה:
הוא קבוצת כל חתכי דדקינד.
- נוכיח שמדובר בשדה סדור ביחס לפעולות החיבור והכפל ויחס הסדר שהגדרנו לעיל, ולאחר מכן נתאר את הייצוג העשרוני של המספרים הממשיים.
שלמות הממשיים
- תהי
קבוצה לא ריקה של מספרים ממשיים, וחסומה מלעיל (כלומר קיים
כך ש
. אזי קיים ל
חסם עליון ממשי.
רעיון ההוכחה
- נוכיח כי האיחוד הכללי של כל חתכי הדדקינד הוא גם חתך דדקינד.
- ברור כי האיחוד הוא חסם מלעיל של הקבוצה כיוון שהוא מכיל את כל איברי הקבוצה.
- נוכיח כי האיחוד הוא חסם עליון של הקבוצה.