חתכי דדקינד

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

הקדמה

  • אנחנו מעוניינים שבמערכת המספרים שלנו יהיה פתרון למשוואה x^2=2 (שורש שתיים).
  • הרי אחרת, מה המרחק מהנקודה (1,1) לראשית הצירים (0,0)?
  • האם ייתכן שהפרבולה y=x^2-2 עולה מהנקודה (0,-2) אל הנקודה (2,2) בלי לחתוך את ציר האיקס?
  • כיוון שאין פתרון למשוואה זו בשדה הרציונאליים, אנחנו רוצים לבנות את שדה הממשיים.



  • כיצד ניתן לתאר את נקודת החיתוך החיובית של הפרבולה y=x^2-2 עם ציר האיקס באמצעות המספרים הרציונאליים אם כך?

X^2-2.png

(נבנה באמצעות גאוגברה.)

  • ובכן, ניתן לומר שציר המספרים מתחלק לשניים - לפני שורש שתיים ואחרי שורש שתיים.
  • כלומר, אולי אנחנו יכולים לייצג את נקודת החיתוך על ידי אוסף הנקודות שקטנות ממנה \left\{x\in\mathbb{Q}| x<0 \vee x^2 <2\right\}, זו הקרן באיור.
  • הרעיון הזה של חיתוך ציר הרציונאליים סביב נקודה בלתי קיימת הוליד את חתכי דדקינד.

חתכי דדקינד

  • הגדרה: חתך דדקינד הוא קבוצה A\subseteq\mathbb{Q} המקיימת:
    • A\neq\emptyset
    • A חסומה מלעיל.
    • לכל m\in\mathbb{Q} מתקיים כי m\notin A אם ורק אם m חסם מלעיל של A


  • הערות ותזכורות:
    • חסם מלעיל של קבוצה הוא מספר שגדול יותר מכל איברי הקבוצה.
    • בחתך דדקינד אין מספר גדול ביותר, אחרת זה היה חסם מלעיל ששיך לקבוצה. זה משול לחצי האבוקדו ללא הגרעין.
    • בחתך המייצג מספר שאינו רציונאלי, כמו שורש שתיים, גם במשלים של החתך אין מספר קטן ביותר, זה משול לשני חצאי אבוקדו ללא גרעין כלל.
    • אם מספר שייך לחתך, בוודאי כל מספר נמוך ממנו שייך לחתך הרי לא ייתכן שמספר נמוך ממנו הוא חסם מלעיל.


  • הקרן באיור לעיל היא חתך דדקינד שתפקידו להגדיר את שורש שתיים.
  • כיצד ניתן להתייחס לקבוצות כאלה בתור מספרים?
  • עלינו להגיד פעולות בין חתכי דדקינד ולהוכיח שמדובר בשדה.
  • כאשר נגדיר את הפעולות, נזכור שמטרתינו היא להגדיר את הנקודות "החסרות" על הציר.

חיבור חתכי דדקינד

  • יהיו שתי חתכים A,B, נגדיר את החיבור:
    • A+B=\left\{a+b|a\in A,b\in B\right\}


  • החיבור הוא חתך דדקינד בעצמו:
    • כיוון שA,B אינן ריקות גם A+B אינה ריקה.
    • סכום חסמי מלעיל של A וB חוסם את A+B.
    • יהי a+b\in A+B, כיוון שאיברי החתכים אינם חסמי מלעיל, קיימים a<c\in A וכן b<d\in B ולכן a+b<c+d\in A+B וa+b אינו חסם מלעיל של A+B
    • יהי m\in\mathbb{Q} שאינו חסם מלעיל של A+B, לכן קיימים m<a+b\in A+B. כעת m-a<b כלומר m-a אינו חסם מלעיל של B ולכן שייך לקבוצה. סה"כ m=a+(m-a)\in A+B.


חתך האפס

  • נגדיר את חתך האפס, בהמשך נוכיח שהוא נייטרלי לחיבור.
  • 0_D=\left\{x\in\mathbb{Q}|x<0\right\}


נגדי

  • יהי חתך A, נגדיר את הנגדי:
    • -A=\left\{x\in\mathbb{Q}|\exists m\notin A:x<-m\right\}


  • לדוגמא -\left\{x\in\mathbb{Q}|x<2\right\}=\left\{x\in\mathbb{Q}|x<-2\right\}


NegDedekind2.png


  • הנגדי הוא חתך דדקינד בעצמו:
    • הנגדי לא ריק:
      • כיוון שA חסומה מלעיל יש לה חסם, וכל המספרים שקטנים ממינוס החסם שייכים לנגדי, ולכן -A\neq\emptyset
    • הנגדי חסום מלעיל:
      • יהי a\in A לכן לכל m\notin A מתקיים כי a<m ולכן -m<-a
      • לכל x\in -A קיים m\notin A כך ש x<-m ולכן x<-a
      • בעצם הנגדי של כל איבר בA הוא חסם מלעיל של -A.
    • כל איבר בנגדי אינו חסם מלעיל:
      • לכל איבר בנגדי x<-m לכן אמצע הקטע בין x,-m גדול מx וקטן מ-m ולכן שייך לנגדי -A ולכן x אינו חסם מלעיל.
    • אם איבר אינו חסם מלעיל, הוא שייך לנגדי:
      • נניח y אינו חסם מלעיל של -A לכן קיים y<x\in -A ולכן קיים m\notin A כך ש y<x<-m ולכן y\in -A


הוכחה שאכן מדובר באיבר נגדי

  • יהי חתך A צריך להוכיח כי A+(-A)=0_D
  • נבצע הכלה דו כיוונית
  • בכיוון ראשון:
    • יהי x+y\in (A+(-A)).
    • כיוון שy\in (-A) קיים m\not\in A כך ש y<-m
    • לכן x+y<m+y<0
    • לכן x+y\in 0_D
  • בכיוון שני:
    • יהי t\in 0_D כלומר t<0
    • רוצים למצוא a\in A, b\in (-A) כך ש a+b=t
    • נבחר m\not\in A כך שm+\frac{t}{2}\in A
      • מדוע זה אפשרי? כי אם m+\frac{t}{2}\not\in A אז זה חסם, ואפשר להוסיף לו \frac{t}{2} שזה מספר שלילי. אחרי מספיק פעמים נהיה קטנים מאיבר בקבוצה
    • כעת -m+\frac{t}{2}<-m ולכן -m+\frac{t}{2}\in (-A).
    • סה"כ t=(m+\frac{t}{2})+(-m+\frac{t}{2})\in A+(-A)

יחס סדר

  • יחס ההכלה הוא יחס סדר לינארי (מלא) על קבוצת חתכי דדקינד
  • הוכחה:
    • יהיו שני חתכים A,B.
    • אם קיים m\notin A חסם מלעיל של A כך שm\in B אזי כל איבר של A אינו חסם מלעיל של B ולכן שייך לB, כלומר A\subseteq B
    • אחרת, לכל m\notin A מתקיים כי m\notin B. כלומר \overline{A}\subseteq\overline{B} ולכן B\subseteq A


  • נגדיר את החתכים החיוביים להיות כל החתכים A כך ש0_D < A ונגדיר את החתכים השליליים על ידי 0_D > A


  • טענה: A\geq 0_D אם ורק אם -A\leq 0_D
  • הוכחה:
    • ראשית נניח כי A\geq 0_D
      • כלומר בעצם 0_D\subseteq A ולכן לכל חסם מלעיל m\notin A מתקיים כי 0\leq m.
      • לכן לכל x\in -A מתקיים כי x<-m<0
      • כלומר כל האיברים ב-A שליליים, ולכן -A\subseteq 0_D כלומר -A\leq 0_D
    • בכיוון ההפוך, נניח כי -A\leq 0_D
      • לכן כל האיברים ב-A שליליים.
      • אם קיים 0>m\notin A אזי 0<-\frac{m}{2}\in -A בסתירה.
    • לכן כל המספרים השליליים שייכים לA, כלומר 0_D\subseteq A ולכן A\geq 0_D

כפל חתכי דדקינד

  • יהיו שני חתכי דדקינד אי שליליים 0_D\leq A,B, נגדיר את הכפל:
    • A\cdot B =\left\{x\cdot y|x\in A\setminus 0_D \wedge y\in B\setminus 0_D\right\}\cup 0_D
  • אם A שלילי, וB אי שלילי, נגדיר:
    • A\cdot B = - ((-A)\cdot B)
  • אם A אי שלילי, וB שלילי, נגדיר:
    • A\cdot B = - (A\cdot (-B))
  • אם A,B שליליים נגדיר:
    • A\cdot B = (-A)\cdot (-B)

הוכחה שהמכפלה נותנת חתך דדקינד

  • יהיו שני חתכי דדקינד חיוביים 0_D< A,B


  • ברור שהמכפלה לא ריקה כיוון ש 0_D\subseteq A\cdot B


  • כיוון שA,B חתכי דדקינד מדובר בקבוצות חסומות, אז קיימים חסמי מלעיל m_A,m_B בהתאמה.
  • לכל xy\in AB מתקיים כי x<m_A,y<m_B ולכן xy<m_A\cdot m_B. זה נכון כי החסמים חיוביים, כי מדובר בחתכים חיוביים.


  • אם t\in AB צ"ל כי t אינו חסם מלעיל של AB.
  • אם t\leq 0 ברור שאינו חסם מלעיל של AB כיוון שיש בקבוצה מספרים חיוביים.
  • לכן t=xy\in AB.
  • כיוון שx אינו חסם מלעיל של A קיים x<z\in A ולכן xy<zy\in A בסתירה.


  • אם t\not\in AB צ"ל כי t חסם מלעיל.
  • נב"ש כי t אינו חסם מלעיל, לכן יש בקבוצה איבר גדול ממנו.
  • כיוון ש t\not\in AB נובע כי t>0, ולכן האיבר שגדול ממנו הוא מהצורה t<xy.
  • לכן \frac{t}{y}<x, נבחר x_1 =\frac{t}{y}<x.
  • כיוון שx_1 <x נובע כי x_1 \in A.
  • לכן t=x_1 y\in A\cdot B בסתירה.


  • אם אחד החתכים הוא 0_D קל להוכיח כי מכפלתם היא 0_D ולכן מהווה חתך.

חתך היחידה

  • נגדיר את חתך היחידה, בהמשך נוכיח שהוא נייטרלי לכפל.
  • 1_D=\{x\in\mathbb{Q}|x<1\}

הופכי

  • אם A חיובי נגדיר את ההופכי שלו להיות
  • A^{-1}=\{x\in\mathbb{Q}|\exists m\not\in A:x<\frac{1}{m}\}
  • אם A שלילי נגדיר את ההופכי שלו להיות
  • A^{-1}=-(-A)^{-1}


הוכחה שההופכי הוא חתך דדקינד

  • נניח A חיובי, ויהי 0<a\in A.
  • לכל חסם m\not\in A מתקיים כי a<m
  • לפיכך \frac{1}{m}<\frac{1}{a}
  • לכן \frac{1}{a} הוא חסם מלעיל של A^{-1}


  • ברור כי A^{-1} אינו ריק, כי לA יש חסם מלעיל, וכל מספר שקטן ממהופכי שלו שייך לA^{-1}


  • נוכיח כי כל מספר בA^{-1} אינו חסם מלעיל.
  • אם x<\frac{1}{m}\in A^{-1} אז גם אמצע הקטע x<y<\frac{1}{m}\in A^{-1}


  • לבסוף, יהי x שאינו חסם מלעיל של A^{-1}
  • לכן x<y\in A^{-1}
  • והרי קיים חסם של A כך ש y<\frac{1}{m}
  • ולכן גם x<\frac{1}{m} ולכן x\in A^{-1}


הוכחה שאכן מדובר בהופכי

  • יהי A חיובי, נוכיח כי A^{-1}A=1


  • ראשית, נוכיח כי A^{-1}A\leq 1
    • יהי 0<xa\in A^{-1}A
    • x\in A^{-1}, לכן קיים חסם מלעיל m\not\in A כך ש x<\frac{1}{m}
    • כמובן ש a<m
    • ביחד xa<\frac{1}{m}\cdot m=1.


  • כעת נוכיח כי A^{-1}A\geq 1
  • צ"ל כי אפשר לבחור איבר xa\in A^{-1}A הקרוב ל1 כרצוננו.
  • נבחר 0<a\in A, m\not\in A כך ש a,m קרובים כרצוננו (אפשרי כי מכל זוג של מספר וחסם אפשר להחליף אחד מהם באמצע הקטע).
  • נבחר x<\frac{1}{m} כך שx,\frac{1}{m} קרובים כרצוננו.
  • סה"כ 1-xa=m\cdot \frac{1}{m}-a\cdot \frac{1}{m}+a\cdot \frac{1}{m}-ax=\frac{1}{m}(m-a)+a(\frac{1}{m}-x)
  • כיוון שקבוצת החסמים m חסומה מלמטה ע"י איברי חיובי מA, וכיוון שאפשר לקרב את m-a כרצוננו לאפס, סה"כ אפשר לקרב את ההפרש הזה כרצוננו לאפס, כפי שרצינו.


  • לבסוף, אם A שלילי, A^{-1}=-(-A)^{-1}
  • לכן A^{-1}A=-(-A)^{-1}\cdot A = (-A)^{-1}\cdot (-A)=1
    • המעבר האחרון הוא לפי הגדרת הכפל עבור חתכים שליליים.

שדה הממשיים

הגדרת המספרים הממשיים

  • הגדרה: \mathbb{R} הוא קבוצת כל חתכי דדקינד.


שדה הממשיים הוא סדר סדור

  • נוכיח שמדובר בשדה סדור ביחס לפעולות החיבור והכפל ויחס הסדר שהגדרנו לעיל.


הוכחה

תכונות השדה

  • סגירות - הוכחנו לעיל שסכום חתכים הוא חתך, וכן כפל חתכים הוא חתך
  • חילופיות - טריוויאלי מחילופיות החיבור והכפל ברציונאליים.
  • אסוציאטיביות - טריוויאלי מאסוציאטיביות החיבור והכפל ברציונאליים.
  • נייטרלים - הגדרנו איברים נייטרלים לעיל ואפילו הוכחנו שהם אכן נייטרלים
  • נגדיים - הגדרנו והוכחנו לעיל
  • הופכיים - הגדרנו והוכחנו לעיל
  • פילוג - נובע מפילוג הרציונאליים


תכונות שדה סדור

  • איזוטוניות ביחס לסכום:
    • יהיו חתכים A,B,C כך שA\leq B צ"ל כי A+C\leq B+C
    • נתון כי A\subseteq B צ"ל כי A+C\subseteq B+C
    • יהי a+c\in A+C, לכן a\in B ולכן a+c\in B+C.


  • יהיו זוג חתכים A\leq B ויהי חתך C חיובי. צ"ל כי AC\leq BC
    • ראשית נניח כי A,B חתכים חיוביים
      • יהי 0<ac\in AC כאשר 0<a,c.
      • כיוון ש A\subseteq B נובע כי a\in B ולכן ac\in BC.
    • כעת נניח כי A שלילי ואילו B חיובי (המצב ההפוך סותר את הנתונים)
      • לפי הגדרת הכפל AC=-((-A)C) הוא חתך שלילי, ולכן בוודאי קטן מהחתך החיובי BC


  • לבסוף נניח כי A,B חתכים שליליים
  • ראשית נוכיח טענת עזר: A\leq B אם ורק אם -A\geq -B
    • בכיוון אחד, נתון כי A\leq B ורוצים להוכיח כי -A\geq -B
      • יהי x\in -B, כלומר קיים חסם m\not\in B כך ש x<m
      • כיוון שA\leq B נובע כי m\not\in A ולכן x\in -A
    • בכיוון השני, נשתמש בכיוון הראשון ובעובדה כי -(-A)=A


  • כעת נחזור להוכחה:
  • מהנתון נובע כי -A\geq -B
  • כבר הוכחנו עבור חתכים חיוביים כי נובע ש (-A)C\geq (-B)C
  • לכן -((-A)C)\leq -((-B)C)
  • כלומר הוכחנו AC\leq BC

שלמות הממשיים

  • תהי \emptyset\neq A\subseteq \mathbb{R} קבוצה לא ריקה של מספרים ממשיים, וחסומה מלעיל (כלומר קיים M\in\mathbb{R} כך ש\forall a\in A:a\leq M. אזי קיים לA חסם עליון ממשי.

הוכחה

  • נסמן בS את האיחוד הכללי של כל חתכי הדדקינד ששייכים לA, כלומר S=\cup_{x\in A} x


  • נוכיח כי האיחוד הכללי של כל חתכי הדדקינד הוא גם חתך דדקינד.
    • S אינה ריקה
      • A אינה ריקה, ולכן קיים x\in A.
      • כיוון שx חתך דדקינד הוא אינו ריק.
      • x\subseteq S ולכן S אינה ריקה
    • S חסומה:
      • כיוון שM חסם מלעיל של A לכל x\in A מתקיים כי x\leq M
      • לפי יחס הסדר מתקיים כי x\subseteq M.
      • כיוון שלכל x\in A מתקיים כי x\subseteq M נובע כי גם S\subseteq M.
      • לכן S חסומה מלעיל.
    • נוכיח כי x\in S אם ורק אם x אינו חסם מלעיל של S
      • אם x\in S אזי x\in D\in A
      • אם x חסם מלעיל של S אזי הוא בפרט חסם מלעיל של D בסתירה.
      • מצד שני, אם m חסם מלעיל של S הוא בפרט חסם מלעיל של כל איברי A ולכן אינו שייך לאף אחד מאיברי A ולכן אינו שייך לS


  • ברור כי לכל x\in A מתקיים כי x\leq S כיוון שx\subseteq S (כל קבוצה מוכלת באיחוד).


  • נוכיח כי S הוא החסם העליון של A.
  • נב"ש כי קיים T חסם מלעיל של A כך ש T<S.
  • לכן קיים x\in S\setminus T.
  • לכן קיים D\in A כך ש x\in D.
  • לכן D\not\subseteq T בסתירה לכך שT חסם מלעיל של A

ייצוג עשרוני של מספרים ממשיים

  • ייצוג עשרוני הוא זוג של סדרת הספרות (פונקציה מהטבעיים אל קבוצת הספרות 0-9) ומספר טבעי שהוא מיקום של הספרה העשרונית.
  • נרצה להתאים לכל ייצוג עשרוני מספר ממשי, נגדיר אותו להיות החסם העליון של כל תתי הפיתוחים העשרוניים הסופיים של המספר.
    • אם a_n היא סדרת הספרות וk הוא מיקום הנקודה העשרונית נגדיר את המספר להיות:
    • \sup \{10^k \sum_{i=1}^n \frac{a_i}{10^i}|n\in\mathbb{N} \}


  • דוגמא פשוטה:
  • עבור הסדרה הקבועה a_n =9, ומיקום הנקודה העשרונית k=0 נקבל את הייצוג העשרוני 0.999...
  • לפי ההגדרה לעיל יוצא כי:
    • 0.999...=\sup \{0,0.9,0.99,0.999,...\}


  • קל להוכיח כי החסם העליון של קבוצה זו הוא 1.
  • 1 הוא חסם מלעיל של הקבוצה
  • לכל מספר קטן מ1 יש איבר בקבוצה שגדול ממנו, כי סדרת איברי הקבוצה שואפת ל1.
  • מסקנה: 1=0.999...