חתכי דדקינד

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

הקדמה

  • אנחנו מעוניינים שבמערכת המספרים שלנו יהיה פתרון למשוואה x^2=2 (שורש שתיים).
  • הרי אחרת, מה המרחק מהנקודה (1,1) לראשית הצירים (0,0)?
  • האם ייתכן שהפרבולה y=x^2-2 עולה מהנקודה (0,-2) אל הנקודה (2,2) בלי לחתוך את ציר האיקס?
  • כיוון שאין פתרון למשוואה זו בשדה הרציונאליים, אנחנו רוצים לבנות את שדה הממשיים.



  • כיצד ניתן לתאר את נקודת החיתוך החיובית של הפרבולה y=x^2-2 עם ציר האיקס באמצעות המספרים הרציונאליים אם כך?

X^2-2.png

(נבנה באמצעות גאוגברה.)

  • ובכן, ניתן לומר שציר המספרים מתחלק לשניים - לפני שורש שתיים ואחרי שורש שתיים.
  • כלומר, אולי אנחנו יכולים לייצג את נקודת החיתוך על ידי אוסף הנקודות שקטנות ממנה \left\{x\in\mathbb{Q}| x<0 \vee x^2 <2\right\}, זו הקרן באיור.
  • הרעיון הזה של חיתוך ציר הרציונאליים סביב נקודה בלתי קיימת הוליד את חתכי דדקינד.

חתכי דדקינד

  • הגדרה: חתך דדקינד הוא קבוצה A\subseteq\mathbb{Q} המקיימת:
    • A\neq\emptyset
    • A חסומה מלעיל.
    • לכל m\in\mathbb{Q} מתקיים כי m\notin A אם ורק אם m חסם מלעיל של A


  • הערות ותזכורות:
    • חסם מלעיל של קבוצה הוא מספר שגדול יותר מכל איברי הקבוצה.
    • בחתך דדקינד אין מספר גדול ביותר, אחרת זה היה חסם מלעיל ששיך לקבוצה.
    • אם מספר שייך לחתך, בוודאי כל מספר נמוך ממנו שייך לחתך הרי לא ייתכן שמספר נמוך ממנו הוא חסם מלעיל.


  • הקרן באיור לעיל היא חתך דדקינד שתפקידו להגדיר את שורש שתיים.
  • כיצד ניתן להתייחס לקבוצות כאלה בתור מספרים?
  • עלינו להגיד פעולות בין חתכי דדקינד ולהוכיח שמדובר בשדה.
  • כאשר נגדיר את הפעולות, נזכור שמטרתינו היא להגדיר את הנקודות "החסרות" על הציר.

חיבור חתכי דדקינד

  • יהיו שתי חתכים A,B, נגדיר את החיבור:
    • A+B=\left\{a+b|a\in A,b\in B\right\}


  • החיבור הוא חתך דדקינד בעצמו:
    • כיוון שA,B אינן ריקות גם A+B אינה ריקה.
    • סכום חסמי מלעיל של A וB חוסם את A+B.
    • יהי a+b\in A+B, כיוון שאיברי החתכים אינם חסמי מלעיל, קיימים a<c\in A וכן b<d\in B ולכן a+b<c+d\in A+B וa+b אינו חסם מלעיל של A+B
    • יהי m\in\mathbb{Q} שאינו חסם מלעיל של A+B, לכן קיימים m<a+b\in A+B. כעת m-a<b כלומר m-a אינו חסם מלעיל של B ולכן שייך לקבוצה. סה"כ m=a+(m-a)\in A+B.


חתך האפס

  • נגדיר את חתך האפס, בהמשך נוכיח שהוא נייטרלי לחיבור.
  • 0_D=\left\{x\in\mathbb{Q}|x<0\right\}


נגדי

  • יהי חתך A, נגדיר את הנגדי:
    • -A=\left\{x\in\mathbb{Q}|\exists m\notin A:x<-m\right\}


  • לדוגמא -\left\{x\in\mathbb{Q}|x<2\right\}=\left\{x\in\mathbb{Q}|x<-2\right\}


NegDedekind2.png


  • הנגדי הוא חתך דדקינד בעצמו:
    • הנגדי לא ריק:
      • כיוון שA חסומה מלעיל יש לה חסם, וכל המספרים שקטנים ממינוס החסם שייכים לנגדי, ולכן -A\neq\emptyset
    • הנגדי חסום מלעיל:
      • יהי a\in A לכן לכל m\notin A מתקיים כי a<m ולכן -m<-a
      • לכל x\in -A קיים m\notin A כך ש x<-m ולכן x<-a
      • בעצם הנגדי של כל איבר בA הוא חסם מלעיל של -A.
    • כל איבר בנגדי אינו חסם מלעיל:
      • לכל איבר בנגדי x<-m לכן אמצע הקטע בין x,-m גדול מx וקטן מ-m ולכן שייך לנגדי -A ולכן x אינו חסם מלעיל.
    • אם איבר אינו חסם מלעיל, הוא שייך לנגדי:
      • נניח y אינו חסם מלעיל של -A לכן קיים y<x\in -A ולכן קיים m\notin A כך ש y<x<-m ולכן y\in -A


יחס סדר

  • יחס ההכלה הוא יחס סדר לינארי (מלא) על קבוצת חתכי דדקינד
  • הוכחה:
    • יהיו שני חתכים A,B.
    • אם קיים m\notin A חסם מלעיל של A כך שm\in B אזי כל איבר של A אינו חסם מלעיל של B ולכן שייך לB, כלומר A\subseteq B
    • אחרת, לכל m\notin A מתקיים כי m\notin B. כלומר \overline{A}\subseteq\overline{B} ולכן B\subseteq A


  • נגדיר את החתכים החיוביים להיות כל החתכים A כך ש0_D < A ונגדיר את החתכים השליליים על ידי 0_D > A


  • טענה: A\geq 0_D אם ורק אם -A\leq 0_D
  • הוכחה:
    • ראשית נניח כי A\geq 0_D
      • כלומר בעצם 0_D\subseteq A ולכן לכל חסם מלעיל m\notin A מתקיים כי 0\leq m.
      • לכן לכל x\in -A מתקיים כי x<-m<0
      • כלומר כל האיברים ב-A שליליים, ולכן -A\subseteq 0_D כלומר -A\leq 0_D
    • בכיוון ההפוך, נניח כי -A\leq 0_D
      • לכן כל האיברים ב-A שליליים.
      • אם קיים 0>m\notin A אזי 0<-\frac{m}{2}\in -A בסתירה.
    • לכן כל המספרים השליליים שייכים לA, כלומר 0_D\subseteq A ולכן A\geq 0_D

כפל חתכי דדקינד

  • יהיו שני חתכי דדקינד אי שליליים 0_D\leq A,B, נגדיר את הכפל:
    • A\cdot B =\left\{x\in\mathbb{Q}:\forall m_A\notin A\forall m_B\notin B:x<m_A\cdot m_B\right\}
  • אם A שלילי, וB אי שלילי, נגדיר:
    • A\cdot B = - (-A)\cdot B
  • אם A אי שלילי, וB שלילי, נגדיר:
    • A\cdot B = - A\cdot (-B)
  • אם A,B שליליים נגדיר:
    • A\cdot B = (-A)\cdot (-B)

שדה הממשיים

הגדרת המספרים הממשיים

  • הגדרה:
    • \mathbb{R} הוא קבוצת כל חתכי דדקינד.


  • נוכיח שמדובר בשדה ביחס לפעולות החיבור והכפל שהגדרנו לעיל, ולאחר מכן נתאר את הייצוג העשרוני של המספרים הממשיים.