הקדמה
- אנחנו מעוניינים שבמערכת המספרים שלנו יהיה פתרון למשוואה (שורש שתיים).
- הרי אחרת, מה המרחק מהנקודה לראשית הצירים ?
- האם ייתכן שהפרבולה עולה מהנקודה אל הנקודה בלי לחתוך את ציר האיקס?
- כיוון שאין פתרון למשוואה זו בשדה הרציונאליים, אנחנו רוצים לבנות את שדה הממשיים.
- כיצד ניתן לתאר את נקודת החיתוך החיובית של הפרבולה עם ציר האיקס באמצעות המספרים הרציונאליים אם כך?
(נבנה באמצעות גאוגברה.)
- ובכן, ניתן לומר שציר המספרים מתחלק לשניים - לפני שורש שתיים ואחרי שורש שתיים.
- כלומר, אולי אנחנו יכולים לייצג את נקודת החיתוך על ידי אוסף הנקודות שקטנות ממנה , זו הקרן באיור.
- הרעיון הזה של חיתוך ציר הרציונאליים סביב נקודה בלתי קיימת הוליד את חתכי דדקינד.
חתכי דדקינד
- הגדרה: חתך דדקינד הוא קבוצה המקיימת:
- חסומה מלעיל.
- לכל מתקיים כי אם ורק אם חסם מלעיל של
- הערות ותזכורות:
- חסם מלעיל של קבוצה הוא מספר שגדול יותר מכל איברי הקבוצה.
- בחתך דדקינד אין מספר גדול ביותר, אחרת זה היה חסם מלעיל ששיך לקבוצה. זה משול לחצי האבוקדו ללא הגרעין.
- בחתך המייצג מספר שאינו רציונאלי, כמו שורש שתיים, גם במשלים של החתך אין מספר קטן ביותר, זה משול לשני חצאי אבוקדו ללא גרעין כלל.
- אם מספר שייך לחתך, בוודאי כל מספר נמוך ממנו שייך לחתך הרי לא ייתכן שמספר נמוך ממנו הוא חסם מלעיל.
- הקרן באיור לעיל היא חתך דדקינד שתפקידו להגדיר את שורש שתיים.
- כיצד ניתן להתייחס לקבוצות כאלה בתור מספרים?
- עלינו להגיד פעולות בין חתכי דדקינד ולהוכיח שמדובר בשדה.
- כאשר נגדיר את הפעולות, נזכור שמטרתינו היא להגדיר את הנקודות "החסרות" על הציר.
חיבור חתכי דדקינד
- יהיו שתי חתכים , נגדיר את החיבור:
- החיבור הוא חתך דדקינד בעצמו:
- כיוון שA,B אינן ריקות גם A+B אינה ריקה.
- סכום חסמי מלעיל של A וB חוסם את A+B.
- יהי , כיוון שאיברי החתכים אינם חסמי מלעיל, קיימים וכן ולכן ו אינו חסם מלעיל של
- יהי שאינו חסם מלעיל של , לכן קיימים . כעת כלומר אינו חסם מלעיל של B ולכן שייך לקבוצה. סה"כ .
חתך האפס
- נגדיר את חתך האפס, בהמשך נוכיח שהוא נייטרלי לחיבור.
נגדי
- יהי חתך A, נגדיר את הנגדי:
- לדוגמא
- הנגדי הוא חתך דדקינד בעצמו:
- הנגדי לא ריק:
- כיוון שA חסומה מלעיל יש לה חסם, וכל המספרים שקטנים ממינוס החסם שייכים לנגדי, ולכן
- הנגדי חסום מלעיל:
- יהי לכן לכל מתקיים כי ולכן
- לכל קיים כך ש ולכן
- בעצם הנגדי של כל איבר בA הוא חסם מלעיל של .
- כל איבר בנגדי אינו חסם מלעיל:
- לכל איבר בנגדי לכן אמצע הקטע בין גדול מ וקטן מ ולכן שייך לנגדי ולכן אינו חסם מלעיל.
- אם איבר אינו חסם מלעיל, הוא שייך לנגדי:
- נניח אינו חסם מלעיל של לכן קיים ולכן קיים כך ש ולכן
- הנגדי לא ריק:
הוכחה שאכן מדובר באיבר נגדי
- יהי חתך צריך להוכיח כי
- נבצע הכלה דו כיוונית
- בכיוון ראשון:
- יהי .
- כיוון ש קיים כך ש
- לכן
- לכן
- בכיוון שני:
- יהי כלומר
- רוצים למצוא כך ש
- נבחר כך ש
- מדוע זה אפשרי? כי אם אז זה חסם, ואפשר להוסיף לו שזה מספר שלילי. אחרי מספיק פעמים נהיה קטנים מאיבר בקבוצה
- כעת ולכן .
- סה"כ
יחס סדר
- יחס ההכלה הוא יחס סדר לינארי (מלא) על קבוצת חתכי דדקינד
- הוכחה:
- יהיו שני חתכים A,B.
- אם קיים חסם מלעיל של A כך ש אזי כל איבר של A אינו חסם מלעיל של B ולכן שייך לB, כלומר
- אחרת, לכל מתקיים כי . כלומר ולכן
- נגדיר את החתכים החיוביים להיות כל החתכים A כך ש ונגדיר את החתכים השליליים על ידי
- טענה: אם ורק אם
- הוכחה:
- ראשית נניח כי
- כלומר בעצם ולכן לכל חסם מלעיל מתקיים כי .
- לכן לכל מתקיים כי
- כלומר כל האיברים ב שליליים, ולכן כלומר
- בכיוון ההפוך, נניח כי
- לכן כל האיברים ב שליליים.
- אם קיים אזי בסתירה.
- לכן כל המספרים השליליים שייכים לA, כלומר ולכן
- ראשית נניח כי
כפל חתכי דדקינד
- יהיו שני חתכי דדקינד אי שליליים , נגדיר את הכפל:
- אם A שלילי, וB אי שלילי, נגדיר:
- אם A אי שלילי, וB שלילי, נגדיר:
- אם A,B שליליים נגדיר:
הוכחה שהמכפלה נותנת חתך דדקינד
- יהיו שני חתכי דדקינד חיוביים
- ברור שהמכפלה לא ריקה כיוון ש
- כיוון שA,B חתכי דדקינד מדובר בקבוצות חסומות, אז קיימים חסמי מלעיל בהתאמה.
- לכל מתקיים כי ולכן . זה נכון כי החסמים חיוביים, כי מדובר בחתכים חיוביים.
- אם צ"ל כי אינו חסם מלעיל של .
- אם ברור שאינו חסם מלעיל של כיוון שיש בקבוצה מספרים חיוביים.
- לכן .
- כיוון ש אינו חסם מלעיל של קיים ולכן בסתירה.
- אם צ"ל כי חסם מלעיל.
- נב"ש כי אינו חסם מלעיל, לכן יש בקבוצה איבר גדול ממנו.
- כיוון ש נובע כי , ולכן האיבר שגדול ממנו הוא מהצורה .
- לכן , נבחר .
- כיוון ש נובע כי .
- לכן בסתירה.
- אם אחד החתכים הוא קל להוכיח כי מכפלתם היא ולכן מהווה חתך.
חתך היחידה
- נגדיר את חתך היחידה, בהמשך נוכיח שהוא נייטרלי לכפל.
הופכי
- אם A חיובי נגדיר את ההופכי שלו להיות
- אם A שלילי נגדיר את ההופכי שלו להיות
הוכחה שההופכי הוא חתך דדקינד
- נניח A חיובי, ויהי .
- לכל חסם מתקיים כי
- לפיכך
- לכן הוא חסם מלעיל של
- ברור כי אינו ריק, כי לA יש חסם מלעיל, וכל מספר שקטן ממהופכי שלו שייך ל
- נוכיח כי כל מספר ב אינו חסם מלעיל.
- אם אז גם אמצע הקטע
- לבסוף, יהי שאינו חסם מלעיל של
- לכן
- והרי קיים חסם של A כך ש
- ולכן גם ולכן
הוכחה שאכן מדובר בהופכי
- יהי A חיובי, נוכיח כי
- ראשית, נוכיח כי
- יהי
- , לכן קיים חסם מלעיל כך ש
- כמובן ש
- ביחד .
- כעת נוכיח כי
- צ"ל כי אפשר לבחור איבר הקרוב ל1 כרצוננו.
- נבחר כך ש קרובים כרצוננו (אפשרי כי מכל זוג של מספר וחסם אפשר להחליף אחד מהם באמצע הקטע).
- נבחר כך ש קרובים כרצוננו.
- סה"כ
- כיוון שקבוצת החסמים חסומה מלמטה ע"י איברי חיובי מA, וכיוון שאפשר לקרב את כרצוננו לאפס, סה"כ אפשר לקרב את ההפרש הזה כרצוננו לאפס, כפי שרצינו.
- לבסוף, אם שלילי,
- לכן
- המעבר האחרון הוא לפי הגדרת הכפל עבור חתכים שליליים.
שדה הממשיים
הגדרת המספרים הממשיים
- הגדרה: הוא קבוצת כל חתכי דדקינד.
שדה הממשיים הוא סדר סדור
- נוכיח שמדובר בשדה סדור ביחס לפעולות החיבור והכפל ויחס הסדר שהגדרנו לעיל.
הוכחה
תכונות השדה
- סגירות - הוכחנו לעיל שסכום חתכים הוא חתך, וכן כפל חתכים הוא חתך
- חילופיות - טריוויאלי מחילופיות החיבור והכפל ברציונאליים.
- אסוציאטיביות - טריוויאלי מאסוציאטיביות החיבור והכפל ברציונאליים.
- נייטרלים - הגדרנו איברים נייטרלים לעיל ואפילו הוכחנו שהם אכן נייטרלים
- נגדיים - הגדרנו והוכחנו לעיל
- הופכיים - הגדרנו והוכחנו לעיל
- פילוג - נובע מפילוג הרציונאליים
תכונות שדה סדור
- איזוטוניות ביחס לסכום:
- יהיו חתכים A,B,C כך ש צ"ל כי
- נתון כי צ"ל כי
- יהי , לכן ולכן .
- יהיו זוג חתכים ויהי חתך חיובי. צ"ל כי
- ראשית נניח כי A,B חתכים חיוביים
- יהי כאשר .
- כיוון ש נובע כי ולכן .
- כעת נניח כי A שלילי ואילו B חיובי (המצב ההפוך סותר את הנתונים)
- לפי הגדרת הכפל הוא חתך שלילי, ולכן בוודאי קטן מהחתך החיובי
- ראשית נניח כי A,B חתכים חיוביים
- לבסוף נניח כי A,B חתכים שליליים
- ראשית נוכיח טענת עזר: אם ורק אם
- בכיוון אחד, נתון כי ורוצים להוכיח כי
- יהי , כלומר קיים חסם כך ש
- כיוון ש נובע כי ולכן
- בכיוון השני, נשתמש בכיוון הראשון ובעובדה כי
- בכיוון אחד, נתון כי ורוצים להוכיח כי
- כעת נחזור להוכחה:
- מהנתון נובע כי
- כבר הוכחנו עבור חתכים חיוביים כי נובע ש
- לכן
- כלומר הוכחנו
שלמות הממשיים
- תהי קבוצה לא ריקה של מספרים ממשיים, וחסומה מלעיל (כלומר קיים כך ש. אזי קיים ל חסם עליון ממשי.
הוכחה
- נסמן ב את האיחוד הכללי של כל חתכי הדדקינד ששייכים ל, כלומר
- נוכיח כי האיחוד הכללי של כל חתכי הדדקינד הוא גם חתך דדקינד.
- אינה ריקה
- אינה ריקה, ולכן קיים .
- כיוון ש חתך דדקינד הוא אינו ריק.
- ולכן אינה ריקה
- חסומה:
- כיוון ש חסם מלעיל של לכל מתקיים כי
- לפי יחס הסדר מתקיים כי .
- כיוון שלכל מתקיים כי נובע כי גם .
- לכן חסומה מלעיל.
- נוכיח כי אם ורק אם אינו חסם מלעיל של
- אם אזי
- אם חסם מלעיל של אזי הוא בפרט חסם מלעיל של בסתירה.
- מצד שני, אם חסם מלעיל של הוא בפרט חסם מלעיל של כל איברי ולכן אינו שייך לאף אחד מאיברי ולכן אינו שייך ל
- אינה ריקה
- ברור כי לכל מתקיים כי כיוון ש (כל קבוצה מוכלת באיחוד).
- נוכיח כי הוא החסם העליון של .
- נב"ש כי קיים חסם מלעיל של כך ש .
- לכן קיים .
- לכן קיים כך ש .
- לכן בסתירה לכך ש חסם מלעיל של
ייצוג עשרוני של מספרים ממשיים
הגדרה של ייצוג עשרוני
- ייצוג עשרוני הוא זוג של סדרת הספרות (פונקציה מהטבעיים אל קבוצת הספרות 0-9) ומספר טבעי שהוא מיקום של הספרה העשרונית.
- נרצה להתאים לכל ייצוג עשרוני מספר ממשי, נגדיר אותו להיות החסם העליון של כל תתי הפיתוחים העשרוניים הסופיים של המספר.
- אם היא סדרת הספרות ו הוא מיקום הנקודה העשרונית נגדיר את המספר להיות:
- דוגמא פשוטה:
- עבור הסדרה הקבועה , ומיקום הנקודה העשרונית נקבל את הייצוג העשרוני
- לפי ההגדרה לעיל יוצא כי:
- קל להוכיח כי החסם העליון של קבוצה זו הוא 1.
- 1 הוא חסם מלעיל של הקבוצה
- לכל מספר קטן מ1 יש איבר בקבוצה שגדול ממנו, כי סדרת איברי הקבוצה שואפת ל1.
- מסקנה: