את רשימת המשפטים לאינטגרלים לא אמיתיים מסוג II לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-3.5.11. חלק זה מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.

אינטגרל לא אמיתי, סוג II (המשך)

דוגמה

[math]\displaystyle{ \int\limits_0^{2\pi}\frac{\sin(x)}{\sqrt x\sqrt{|x-\pi|}^3}\mathrm dx }[/math] - מתכנס או מתבדר?

נסמן [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{\sin(x)}{\sqrt x\sqrt{|x-\pi|}^3} }[/math]. לפונקציה יש נקודת אי רציפות סליקה באפס כי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{\sin(x)}x\cdot\frac x\sqrt x\cdot\frac1{\sqrt{|x-\pi|}^3}=1\cdot0\cdot\frac1{\sqrt \pi^3}=0 }[/math]. כמו כן יש סינגולריות רק ב-[math]\displaystyle{ \pi }[/math] ונרשום: [math]\displaystyle{ I_1:=\int\limits_0^\pi f\ \and\ I_2:=\int\limits_\pi^{2\pi} f }[/math].

f אי-שלילית בקטע [math]\displaystyle{ [0,\pi] }[/math]. לכן נגדיר [math]\displaystyle{ g(x):=\frac1\sqrt{x-\pi} }[/math] ונחשב [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\pi^-}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\pi^-}\frac{\sin(x)}{\sqrt x(\pi-x)}=\frac1\sqrt\pi\lim_{x\to\pi^-}\frac{\sin(x)}{\pi-x}=\frac1\sqrt\pi\lim_{x\to\pi^-}\frac{\cos(x)}{-1}=\frac1\sqrt\pi\in\mathbb R }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ I_1 }[/math] מתכנס אם [math]\displaystyle{ \int\limits_0^\pi g }[/math] מתכנס, מה שאכן מתקיים: [math]\displaystyle{ \int\limits_0^\pi g=\int\limits_0^\pi(\pi-x)^{-1/2}\mathrm dx=\left[-2\sqrt{\pi-x}\right]_{x=0}^\pi=2\sqrt\pi }[/math]. באותו אופן אפשר להוכיח התכנסות [math]\displaystyle{ I_2 }[/math] (השוואה עם [math]\displaystyle{ \frac{-1}\sqrt{x-\pi} }[/math]). מכאן שאינטגרל הנתון מתכנס. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

נושא שני:
סדרות וטורים של פונקציות

הגדרה: תהי [math]\displaystyle{ \{f_n\}_{n=1}^\infty }[/math] סדרת פונקציות המוגדרות כולן בקטע [math]\displaystyle{ I }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ x_0\in I }[/math] נקבל סדרת מספרים [math]\displaystyle{ \{f_n(x_0)\}_{n=1}^\infty }[/math] ואפשר לדון ב-[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} f_n(x_0) }[/math]. נגדיר את "תחום ההתכנסות" [math]\displaystyle{ J\subseteq I }[/math] של הסדרה כ-[math]\displaystyle{ J:=\left\{x\in I:\lim_{n\to\infty}f_n(x)\in\mathbb R\right\} }[/math]. כמו כן מוגדרת "פונקציה גבולית" [math]\displaystyle{ f:J\to\mathbb R }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ f=\lim_{n\to\infty}f_n }[/math].

יש 2 נקודות מבט בהן ניתן להסתכל על סדרת פונקציות:

סדרת פונקציות [math]\displaystyle{ \{f_n\}_{n=1}^\infty }[/math] היא פשוט אינסוף סדרות של מספרים [math]\displaystyle{ \{f_n(x)\}_{n=1}^\infty }[/math], עם [math]\displaystyle{ x\in I }[/math] לכל סדרה. זהו מבט נקודתי.
סדרת פונקציות היא, כשמה, סדרה של פונקציות ששואפות לפונקציה חדשה - הפונקציה הגבולית. זהו מבט פונקציונלי.

הגדרה: נניח שיש לנו סדרת פונקציות [math]\displaystyle{ \{u_n\}_{n=1}^\infty }[/math] על I. אפשר לבנות טור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty u_n(x) }[/math] כאשר התכנסות הטור נקבעת עפ"י הסכומים החלקיים [math]\displaystyle{ S_N(x)=\sum_{n=1}^N u_n(x) }[/math] וה-[math]\displaystyle{ \{S_N\}_{N=1}^\infty }[/math] סדרת פונקציות על I. תחום ההתכנסות ל-[math]\displaystyle{ S_N }[/math], לפי ההגדרה, [math]\displaystyle{ J=\left\{x\in I:\lim_{N\to\infty}S_N(x)=\sum_{n=1}^\infty u_n(x)\in\mathbb R\right\} }[/math]. כמו כן הפונקציה הגבולית של הסדרה היא [math]\displaystyle{ S(x)=\lim_{N\to\infty}S_N(x) }[/math].

דוגמאות

[math]\displaystyle{ \forall n\in\mathbb N:\ f_n(x)=x^n }[/math]. זאת סדרת פונקציות על [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math] ומתקיים [math]\displaystyle{ f(x)=\lim_{n\to\infty}x^n=\begin{cases}0&|x|\lt 1\\1&x=1\\\text{undefined}&\text{else}\end{cases} }[/math]. לפיכך תחום ההתכנסות הוא הקטע [math]\displaystyle{ J=(-1,1] }[/math]. נשים לב כי יש לפונקציה הגבולית נקודת אי-רציפות ב-[math]\displaystyle{ x=1 }[/math] אעפ"י שכל ה-[math]\displaystyle{ f_n }[/math] רציפות בנקודה זו.
נחשב את הפונקציה הגבולית עבור [math]\displaystyle{ f_n(x)=\frac{n^2x}{1+(nx)^2} }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \forall n:\ f_n(0)=0 }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ x\ne0 }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{n^2x}{1+(nx)^2}=\lim\frac x{\frac1{n^2}+x^2}=\frac1x }[/math]. לכן הפונקציה הגבולית היא [math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}0&x=0\\\frac1x&x\ne0\end{cases} }[/math].
הטור הנדסי [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty x^n }[/math] שווה ל-[math]\displaystyle{ \begin{cases}\frac1{1-x}&|x|\lt 1\\\text{undefined}&\text{else}\end{cases} }[/math]. תחום ההתכנסות הוא [math]\displaystyle{ (-1,1) }[/math].
נבדוק למה שווה הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty nx^n }[/math] עבור [math]\displaystyle{ |x|\lt 1 }[/math]:
[math]\displaystyle{ \begin{align}\sum_{n=1}^\infty nx^n&=\left(x+x^2+x^3+\dots\right)+\left(x^2+x^3+\dots\right)+\left(x^3+\dots\right)+\dots\\&=\frac x{1-x}+\frac{x^2}{1-x}+\frac{x^3}{1-x}+\dots\\&=\frac x{1-x}\sum_{n=0}^\infty x^n\\&=\frac x{(1-x)^2}\end{align} }[/math]
[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
גישה אחרת (מבט פונקציונלי): נגדיר [math]\displaystyle{ S(x)=\sum_{n=1}^\infty x^n=\frac1{1-x} }[/math]. אם יש צדק בעולם [math]\displaystyle{ S'(x)=\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1} }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty nx^n=S(x)=x\cdot S'(x)=x\cdot\frac1{(1-x)^2} }[/math], אלא שאנו זקוקים למשפט כדי להצדיק את גזירת הטור איבר-איבר אינסוף פעמים (כלומר משפט האומר ש-[math]\displaystyle{ \left(\sum_{n=1}^\infty f_n(x)\right)'=\sum_{n=1}^\infty f_n'(x) }[/math]), ועוד לא הוכחנו כזה דבר (אך נעיר שזה נכון).
נגדיר [math]\displaystyle{ f_n(x)=\frac{\sin\left(n^2x\right)}n }[/math]. לכן הפונקציה הגבולית היא [math]\displaystyle{ f(x)=\lim_{n\to\infty}\sin\left(n^2x\right)\frac1n=0 }[/math]. אם יש צדק בעולם אז [math]\displaystyle{ f_n(x)\to0\implies f_n'(x)\to0'=0 }[/math], אלא שצדק נמצא בחלל ובפרט [math]\displaystyle{ f_n'(x)=n\cos\left(n^2x\right) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}f_n'(x) }[/math] לא קיים לאף [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math].
נתבונן בטור [math]\displaystyle{ S(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!} }[/math] ונוכיח כי [math]\displaystyle{ \forall x\in\mathbb R:\ S(x)=e^x }[/math]. נעשה זאת באמצעות טורי טיילור: [math]\displaystyle{ e^x=P_N(x)+R_N(x) }[/math] וכבר הראנו בקורס אינפי 1 ש-[math]\displaystyle{ \forall x\in\mathbb R:\ P_N(x)=\sum_{n=0}^N\frac{x^n}{n!}\ \and\ R_N(x)=\frac{f^{(N+1)}(c)}{(N+1)!}x^{N+1}=\frac{e^c}{(N+1)!}x^{N+1} }[/math] עבור c כלשהו בין 0 ל-x. כעת הטור הנתון מקיים [math]\displaystyle{ S(x)=\lim{N\to\infty}P_N(x)=\lim_{N\to\infty} e^x-R_N(x) }[/math]. כדי להראות ש-[math]\displaystyle{ S(x)=e^x }[/math] נותר להוכיח ש-[math]\displaystyle{ \lim_{N\to\infty}R_N(x)=0 }[/math]. ובכן נקח [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math] כרצונינו ונשים לב כי [math]\displaystyle{ \forall N:\ 0\le|R_N(x)|\le\frac{e^{|x|}|x|^{N+1}}{(N+1)!}=e^{|x|}\frac{|x|}1\frac{|x|}2\frac{|x|}3\cdots\frac{|x|}{\lfloor x\rfloor}\frac{|x|}{\lfloor x\rfloor+1}\cdots\frac{|x|}{\lfloor x\rfloor+(N+1-\lfloor x\rfloor)}\to0 }[/math]
וכך הוכחנו בעזרת המבט הנקודתי. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math] עתה ננסה להוכיח גם מנקודת מבט פונקציונלית: [math]\displaystyle{ S(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\dots }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ S'(x)=0+1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots=S(x) }[/math]. נגדיר [math]\displaystyle{ f(x)=S(x)\cdot e^{-x} }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f'(x)=S'(x)e^{-x}+S(x)\left(-e^{-x}\right)=S(x)e^{-x}-S(x)e^{-x}=0 }[/math] ומכאן ש-f פונקציה קבועה. נסמן [math]\displaystyle{ c=f(x) }[/math] ונובע ש-[math]\displaystyle{ S(x)=f(x)e^x=ce^x }[/math]. מהגדרת S נובע כי [math]\displaystyle{ S(0)=1 }[/math] ז"א [math]\displaystyle{ 1=S(0)=ce^0=c }[/math], ומכאן נובע ש-[math]\displaystyle{ S(x)=e^x }[/math] ובפרט [math]\displaystyle{ e=e^1=\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!} }[/math]. ו"הוכחנו" את הטענה (לצערנו גזרנו טור אינסופי איבר-איבר, אבל כאמור, אין לנו משפט שאומר שזה נכון).

טענה: e אינו רציונלי.

הוכחה: נניח בשלילה ש-e רצינלי ונסמן [math]\displaystyle{ e=\frac pq }[/math] עבור [math]\displaystyle{ p,q\in\mathbb N }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ q!e=(q-1)!p\in\mathbb N }[/math], אבל [math]\displaystyle{ q!e=\underbrace{q!+q!+\frac{q!}{2!}+\frac{q!}{3!}+\dots+\frac{q!}{q!}}_{\in\mathbb N}+\underbrace{\frac1{q+1}+\frac1{(q+1)(q+2)}+\dots}_{\lt \sum_{n=1}^\infty\frac1{q^n}=\frac1{q-1}\lt 1} }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ q!e }[/math] הוא מספר טבעי השווה למספר טבעי ועוד מספר לא שלם, בסתירה. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

הגדרה: תהי [math]\displaystyle{ \{f_n\} }[/math] סדרת פונקציות בקטע I כך שלכל [math]\displaystyle{ x\in I }[/math] קיים הגבול [math]\displaystyle{ f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x) }[/math]. ניתן שתי הגדרות שקולות לשאיפה של [math]\displaystyle{ f_n }[/math] ל-f במידה ושווה ב-I:

לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ n_0\in\mathbb N }[/math] כך שאם [math]\displaystyle{ n\gt n_0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ |f(x)-f_n(x)|\lt \varepsilon }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in I }[/math].
[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I} |f(x)-f_n(x)|=0 }[/math].