פתרון משוואה ממעלה 3

הדרך לפתרון משוואה ממעלה 3 מיוחסת לטרטליה (Tartaglia). אנו נציג שתי שיטות למצוא שורש כלשהו של המשוואה. מציאת השורשים האחרים תוסבר בסוף.

הערה: השיטה עובדת מעל כל שדה שהמאפיין שלו אינו 2 או 3.

לפני שמתחילים

בהינתן משוואה [math]\displaystyle{ x^3+ax^2+bx+c=0 }[/math] ניתן להציב [math]\displaystyle{ x=y-a/3 }[/math]. המשוואה שתתקבל מההצבה תהייה מהצורה [math]\displaystyle{ y^3+py+q=0 }[/math] עבור מספרים [math]\displaystyle{ p,q }[/math] כלשהם. ברור כי מספיק לפתור את המשוואה ב-[math]\displaystyle{ y }[/math] כי [math]\displaystyle{ y=y_0 }[/math] הוא פיתרון אם ורק אם [math]\displaystyle{ x=y_0-a/3 }[/math] הוא פיתרון של המשוואה ב-[math]\displaystyle{ x }[/math].

לכן, מעכשיו נניח שהמשוואה שלנו היא מהצורה [math]\displaystyle{ y^3+py+q=0 }[/math].

הערה: אם מסיבה כזו או אחרת אתם יכולים לזהות בקלות שורש של המשוואה (לדוגמא, אם [math]\displaystyle{ p=0 }[/math] או [math]\displaystyle{ q=0 }[/math]), אל תשתמשו בשיטות לעיל. הן עלולות להיכשל בגלל חלוקה ב-0.

שיטה ראשונה (טרטליה)

נחפש [math]\displaystyle{ u,v }[/math] כך שיתקיים [math]\displaystyle{ u^3+v^3=-q }[/math] ו-[math]\displaystyle{ uv=-p/3 }[/math].

טענה: במצב זה, [math]\displaystyle{ y=u+v }[/math] הוא שורש של המשוואה.

הוכחה: נציב ונבדוק:

[math]\displaystyle{ y^3+py+q=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+p(u+v)+q=(u^3+v^3)+3uv(u+v)+p(u+v)+q=-q-p(u+v)+p(u+v)+q=0 }[/math]

מש"ל.

כדי למצוא [math]\displaystyle{ u,v }[/math] נשים לב ש-[math]\displaystyle{ u^3\cdot v^3=-p^3/27 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ u^3,v^3 }[/math] הם שורשים של המשוואה הריבועית [math]\displaystyle{ t^2+p^3/27-q=0 }[/math].