אלגוריתם ללכסון מטריצה

תהי מטריצה A. נרצה לדעת האם היא לכסינה ומהי המטריצה המלכסנת שלה

מציאת פולינום אופייני

[math]\displaystyle{ p_A(x):=\left|xI-A\right| }[/math].

מציאת הערכים העצמיים של המטריצה וריבויים האלגברי

[math]\displaystyle{ \lambda }[/math] ערך עצמי של [math]\displaystyle{ A }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ p_A(\lambda)=0 }[/math].

לכל שורש [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] של [math]\displaystyle{ p_A(x) }[/math], נוציא מהפולינום גורם [math]\displaystyle{ (x-\lambda) }[/math], עד שנגיע למצב [math]\displaystyle{ p_A(x)=(x-\lambda_1)^{r_1}\cdots(x-\lambda_k)^{r_k} }[/math].

אם נותר בפולינום גורם שאינו מתפרק לגורמים לינאריים כאלה, אז המטריצה אינה לכסינה ואפשר לעצור כאן.

[math]\displaystyle{ \lambda_1,\dots,\lambda_k }[/math] הם הערכים העצמיים השונים של [math]\displaystyle{ A }[/math], ו [math]\displaystyle{ r_1,\dots,r_k }[/math] הם הריבויים האלגבריים שלהם, בהתאמה.

מציאת המרחבים העצמיים של הערכים העצמיים

לכל ערך עצמי [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] של [math]\displaystyle{ A }[/math], מחשבים את המרחב העצמי [math]\displaystyle{ V_\lambda:=\left\{v : Av=\lambda v\right\}=N(A-\lambda I) }[/math], אוסף הפתרונות של המערכת ההומוגנית המתאימה למטריצה [math]\displaystyle{ A-\lambda I }[/math].

מוצאים בסיס עבור מרחב זה. אם בבסיס יש פחות איברים מהריבוי האלגברי של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math], אז המטריצה אינה לכסינה ולא צריך להמשיך.

כל עוד יש מספיק וקטורים כמו בריבוי האלגברי, ממשיכים הלאה לערכים העצמיים הבאים. אם הצלחנו עבור כולם, מובטח שהמטריצה לכסינה, והמטריצה המלכסנת היא המטריצה שעמודותיה הם הוקטורים העצמיים בבסיסים שמצאנו.

• מומלץ להיזכר במציאת בסיס למרחב האפס

מציאת בסיסים למרחבים העצמיים

ידוע מלינארית 1 כי בסיס למרחב האפס מורכב מהפתרונות הפונדומנטליים של המערכת ההומוגנית

בדיקה האם המטריצה לכסינה, ואם כן מציאת המטריצה המלכסנת

אם סכום מימדי המרחבים העצמיים שווה למימד המרחב כולו (ניתן לגלות לפי מספר האיברים בבסיסים), אזי המטריצה לכסינה והמטריצה המלכסנת P היא המטריצה שעמודותיה הם הוקטורים מהבסיסים הנ"ל.

אחרת, המטריצה אינה לכסינה