רציפות

חזרה לפונקציות

רציפות

אנו מעוניינים להגדיר את המושג האינטואיטיבי של רציפות. כיוון שיש לנו את מושג הגבול (הגובה אליו הפונקציה שואפת בנקודה מסוימת), נרצה באופן טבעי כי ערך הפונקציה יהיה שווה לגבול שלה בנקודה. הגדרה. תהי f פונקציה. אומרים כי f רציפה בנקודה a אם ערכה בנקודה שווה לגבול שלה בנקודה

[math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a) }[/math]

שימו לב כי הגדרת הרציפות הינה נקודתית. נהוג לומר על פונקציה שהיא רציפה בקטע אם היא רציפה בכל נקודה בקטע.

אי רציפות

פונקציה אינה רציפה בנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אם"ם אחד לפחות מבין התנאים הבאים מתקיים:

1. הגבול של הפונקציה ב-[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אינו קיים במובן הצר
2. הפונקציה אינה מוגדרת בנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]
3. הגבול קיים במובן הצר, הפונקציה מוגדרת, אך ערך הפונקציה שונה מהגבול בנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]

אנו מחלקים את נקודות אי הרציפות לשלושה מקרים:

אי רציפות סליקה

אומרים כי ל-f קיימת נקודת אי רציפות סליקה בנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אם היא אינה רציפה בנקודה אך הגבול שלה בנקודה קיים במובן הצר.

במקרה זה ניתן לתקן את הפונקציה בנקודה על מנת לקבל פונקציה רציפה בנקודה. נגיד g על ידי:

[math]\displaystyle{ g(x):=f(x) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ x\neq x_0 }[/math]

[math]\displaystyle{ g(x_0):=\lim_{x\rightarrow x_0}f(x) }[/math]

קל להוכיח כי g רציפה בנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]

אי רציפות ממין ראשון

אומרים כי ל-f קיימת נקודת אי רציפות ממין ראשון בנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אם הגבולות החד צדדיים שלה בנקודה קיימים במובן הצר ושונים.

במקרה זה ניתן לחלק את הפונקציה לשתי פונקציה שאחת רציפה מימין בנקודה והשנייה רציפה משמאל בנקודה.

אי רציפות ממין שני

כל נקודת אי רציפות אחרת מסווגת כ אי רציפות ממין שני. זה עשוי לקרות אם הפונקציה אינה חסומה באף סביבה של הנקודה, או פשוט כאשר לא קיים אחד הגבולות הצדדים.

לדוגמא: [math]\displaystyle{ sin(\frac{1}{x}) }[/math] באפס.