המספר e

הוכחנו בהרצאה כי לסדרה [math]\displaystyle{ a_n=\Big( 1+\frac{1}{n}\Big)^n }[/math] יש גבול ממשי. אנו מגדירים את המספר e להיות גבול הסדרה הזו.

[math]\displaystyle{ e:=\lim\Big( 1+\frac{1}{n}\Big)^n }[/math]

משפט. תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, אזי [math]\displaystyle{ e=\lim\Big(1+\frac{1}{a_n}\Big)^{a_n} }[/math]

משפט. תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, ותהי [math]\displaystyle{ b_n }[/math] סדרה המתכנסת (במובן הצר, או במובן הרחב) לגבול L. אזי [math]\displaystyle{ e^L=\lim\Big(1+\frac{1}{a_n}\Big)^{a_n\cdot b_n} }[/math]

תרגיל.

חשב את גבול הסדרה [math]\displaystyle{ a_n=\Big(1-\frac{1}{n}\Big)^n }[/math]

פתרון. נפתח את הסדרה על מנת לקבל ביטוי מהצורה של המשפט למעלה.

[math]\displaystyle{ \Big(1-\frac{1}{n}\Big)^n=\Big(\frac{n-1}{n}\Big)^n=\Big(\big(\frac{n}{n-1}\big)^{-1}\Big)^n= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\Big(1+\frac{1}{n-1}\Big)^{-n}=\Big(1+\frac{1}{n-1}\Big)^{(n-1)\frac{-n}{n-1}} }[/math]

כיוון ש [math]\displaystyle{ \frac{-n}{n-1}\rightarrow (-1) }[/math] אנו מקבלים כי

[math]\displaystyle{ \Big(1-\frac{1}{n}\Big)^n\rightarrow e^{-1}=\frac{1}{e} }[/math]

תכונות

לכל מספר טבעי n מתקיים כי:

[math]\displaystyle{ \Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n}\lt e\lt \Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1} }[/math]

הוכחה:

e מוגדר כגבול הסדרה השמאלית, לכן מספיק להוכיח כי היא מונוטונית עולה שכן גבול סדרה מונוטונית עולה תמיד גדול מאבריה.

כמו כן:

[math]\displaystyle{ \Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}=\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n}\Big(1+\frac{1}{n}\Big)\rightarrow e\cdot 1 }[/math]

לכן מספיק להוכיח כי סדרה זו מונוטונית יורדת, וכך נעשה.