משפט בולצאנו-ויירשטראס

משפט בולצאנו-ויירשטראס לסדרות

לכל סדרה חסומה יש תת-סדרה מתכנסת

הוכחה

ראשית, נזכר בלמה של קנטור. יהי [math]\displaystyle{ \{I_n\} }[/math] אוסף של קטעים סגורים [math]\displaystyle{ I_n=[a_n,b_n] }[/math] כך שכל אחד מוכל בקודמו (כלומר [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מונוטונית לא-יורדת, ו- [math]\displaystyle{ b_n }[/math] מונוטונית לא-עולה). עוד נניח כי אורך הקטעים שואף ל- [math]\displaystyle{ 0 }[/math] , כלומר [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}b_n-a_n =0 }[/math] .

אזי קיימת נקודה יחידה השייכת לכל הקטעים. (מתקיים באופן טבעי שנקודה זו שווה לגבול הסדרות [math]\displaystyle{ a_n,b_n }[/math] .)

נביט כעת בסדרה חסומה [math]\displaystyle{ -M\le a_n\le M }[/math] (זכרו, הסדרה לא חייבת להיות בכל הקטע הזה, רק לא לצאת ממנו). כיון שבסדרה ישנם אינסוף איברים, הקטע [math]\displaystyle{ I_1:=[-M,M] }[/math] מכיל אינסוף איברים מהסדרה.

נביט כעת בשני חצאי הקטע [math]\displaystyle{ [-M,0],[0,M] }[/math] . בהכרח אחד מהם לפחות מכיל אינסוף איברים מהסדרה (וזה עיקר הרעיון של ההוכחה). נסמן את חצי הקטע הזה ב- [math]\displaystyle{ I_2 }[/math] . נחצה את הקטע הזה לשניים, ונבחר חצי שמכיל אינסוף איברים.

אם כך, קיבלנו סדרה של קטעים [math]\displaystyle{ I_1\supseteq I_2 \supseteq \cdots }[/math] המקיימת את התכונות הבאות:

• כל קטע מכיל אינסוף איברים מהסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math]

• כל קטע מוכל בקודמו

• אורך כל קטע הוא חצי קודמו. כיון שאורך הקטע הראשון הנו [math]\displaystyle{ 2M }[/math] אורך הקטע [math]\displaystyle{ I_n }[/math] שווה ל- [math]\displaystyle{ \frac{M}{2^{n-2}} }[/math] . ברור שאורך הקטעים שואף ל- [math]\displaystyle{ 0 }[/math] לכן-

לפי הלמה של קנטור, מתקיים כי יש נקודה המוכל בכל הקטעים הללו, נקרא לה [math]\displaystyle{ L }[/math] . נוכיח כי [math]\displaystyle{ L }[/math] הנה גבול חלקי של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ובכך נסיים את ההוכחה (שכן ההגדרה של גבול חלקי הנו קיום תת-סדרה השואפת אליו).

• יהי [math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math] , רוצים להוכיח כי בסביבת [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] של [math]\displaystyle{ L }[/math] ישנם אינסוף איברים מהסדרה.
• כיון שאורך הקטעים שבנינו שואפים ל- [math]\displaystyle{ 0 }[/math] , יש קטע שאורכו קטן מ- [math]\displaystyle{ \frac{epsilon}{2} }[/math] .
• לפי ההגדרה של [math]\displaystyle{ L }[/math] מהלמה של קנטור, [math]\displaystyle{ L }[/math] מוכל בכל הקטעים שבנינו ובפרט בקטע הקטן הזה.
• לכן בוודאי הקטע הקטן מוכל בסביבת [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] של [math]\displaystyle{ L }[/math] .
• אבל אחת התכונות של הקטעים שבנינו היא שהם מכילים אינסוף איברים מהסדרה ולכן קיימים אינסוף איברים מהסדרה בסביבת [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] של [math]\displaystyle{ L }[/math] .

כפי שרצינו להוכיח.