88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מדמח/פתרון בוחן 1
1
L הנו גבול הסדרה אם לכל קיים מקום בסדרה כך שלכל מתקיים .
L אינו גבול הסדרה אם קיים כך שלכל מקום בסדרה קיים כך ש- .
2
משיעורי הבית
3
משיעורי הבית
4
כיון שהאיבר הראשון חיובי, ושאר האיברים הם ריבועים, קל לראות כי כל הסדרה חיובית. לכן
ניתן על כן להוכיח באינדוקציה כי מונוטוניות הסדרה נקבעת על-ידי הזוג הראשון. כאשר הסדרה מונוטונית עולה, כאשר קל לראות שהסדרה קבועה, וכאשר הסדרה מונוטונית יורדת.
כאשר הסדרה מונוטונית קבועה, היא קבוע ולכן זהו גבולה.
כאשר הסדרה מונוטונית יורדת היא חסומה מלרע על-ידי ולכן מתכנסת (מונוטונית וחסומה). נמצא את גבולה:
נסמן ולכן ולכן:
כלומר שווה ל- או . כיוון שאנו עוסקים במקרה בו והסדרה מונוטונית יורדת, ולכן הגבול שווה .
באופן דומה, כאשר הסדרה מונוטונית עולה, אם היא הייתה מתכנסת גבולה היה גדול מ- בסתירה.
5
משיעורי הבית
6
א
חסומה כפול שואפת ל- לכן שואף ל-
ב
ג
ולכן
ד
ה
לפי משפט אם הגבול קיים, אזי מתקיים ש- (בכיוון ההפוך זה לא נכון)
לכן מספיק לחשב את הגבול הראשון, במקרה זה: