מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1/פתרון דוגמא 1
דוגמא:
מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:
- [math]\displaystyle{ |x^2-1| + |x-2|\gt 4x+5 }[/math]
פתרון:
על מנת לפתור את אי השיוויון נחלק את האפשרויות של המשתנה x למקרים שונים בהם אנחנו יודעים עבור כל אחד מהביטויים בתוך ערך מוחלט אם הוא חיובי או שלילי.
בכל אחד מהמקרים שנקבל, נוכל לדעת האם אפשר להסיר את הערך המוחלט או להחליף אותו בסימן מינוס.
ראשית, נבדוק עבור כל אחד מהביטויים מתחת לערך המוחלט, בנפרד, מתי הם שליליים ומתי הם חיוביים:
- [math]\displaystyle{ x^2-1\geq 0 }[/math]
אם ורק אם:
[math]\displaystyle{ x\geq 1 }[/math] או [math]\displaystyle{ x \leq -1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ x-2\geq 0 }[/math]
אם ורק אם:
[math]\displaystyle{ x\geq 2 }[/math]
ביחד אנו מקבלים את המקרים הבאים:
- עבור [math]\displaystyle{ x\geq 2 }[/math]
מתקיים [math]\displaystyle{ x^2-1\geq 0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ x-2\geq 0 }[/math]
- עבור [math]\displaystyle{ 1\leq x \lt 2 }[/math] או [math]\displaystyle{ x\leq -1 }[/math]
מתקיים [math]\displaystyle{ x^2-1\geq 0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ x-2\lt 0 }[/math]
- עבור [math]\displaystyle{ -1\lt x\lt 1 }[/math]
מתקיים [math]\displaystyle{ x^2-1\lt 0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ x-2\lt 0 }[/math]