לכסון מטריצה

הגדרה: תהי A מטריצה ריבועית.

אומרים כי A מטריצה לכסינה אם היא דומה למטריצה אלכסונית

משפט.

תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] מטריצה ריבועית. A לכסינה אם ורק אם קיים בסיס B למרחב [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math] כך שכל הוקטורים בבסיס B הינם וקטורים עצמיים של המטריצה A.

הוכחה.

דוגמא חשובה לשימוש בלכסינות

באמצעות לכסון ניתן למצוא חזקות גבוהות של מטריצות באופן הבא. נניח A מטריצה לכסינה, לכן קיימת מטריצה אלכסונית D ומטריצה הפיכה P כך שמתקיים:

[math]\displaystyle{ A=PDP^{-1} }[/math]

ולכן

[math]\displaystyle{ A^k=\Big(PDP^{-1}\Big)^k = PDP^{-1}\cdot PDP^{-1} \cdots PDP^{-1} }[/math]

אבל

[math]\displaystyle{ P^{-1}\cdot P=I }[/math]

לכן סה"כ אנחנו מקבלים

[math]\displaystyle{ A^k=PD^kP^{-1} }[/math]

כאשר להעלות מטריצה אלכסונית בחזקה זה קל מאד.