רציפות

חזרה לפונקציות

רציפות

אנו מעוניינים להגדיר את המושג האינטואיטיבי של רציפות. כיון שיש לנו את מושג הגבול (הגובה אליו הפונקציה שואפת בנקודה מסוימת), נרצה באופן טבעי כי ערך הפונקציה יהיה שווה לגבול שלה בנקודה.

הגדרה. תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה. אומרים כי [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה בנקודה [math]\displaystyle{ a }[/math] אם ערכה בנקודה שווה לגבול שלה בנקודה

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to a}f(x)=f(a) }[/math]

שימו לב כי הגדרת הרציפות הנה נקודתית. נהוג לומר על פונקציה שהיא רציפה בקטע אם היא רציפה בכל נקודה בקטע.

משפט. תהיינה [math]\displaystyle{ f,g }[/math] פונקציות רציפות. אזי פונקצית המנה [math]\displaystyle{ \frac{f}{g} }[/math] רציפה בדיוק בנקודות בהן [math]\displaystyle{ g\ne 0 }[/math]

משפט (הרכבה של רציפות). תהי [math]\displaystyle{ g }[/math] פונקציה רציפה בנקודה [math]\displaystyle{ L }[/math] . תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה המקיימת [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=L }[/math] אזי

[math]\displaystyle{ g(f(x)) }[/math] רציפה בנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]

דוגמא. תהיינה [math]\displaystyle{ f,g }[/math] פונקציות רציפות. הוכח כי פונקציה המקסימום המוגדרת על-ידי

[math]\displaystyle{ \max(f,g)(x):=\max\Big\{f(x),g(x)\Big\} }[/math]

רציפה.

הוכחה. קל להוכיח כי פונקצית הערך המוחלט הנה פונקציה רציפה. עוד קל לראות כי

[math]\displaystyle{ \max(f,g)=\frac{f+g}{2}+\frac{|f-g|}{2} }[/math]

אכן, בנקודה בה [math]\displaystyle{ f(x)\gt g(x) }[/math] מקבלים [math]\displaystyle{ \max(f,g)(x)=f(x) }[/math] , ולהפך.

אם כך, פונקצית המקסימום הנה סכום, כפל בקבוע, והרכבה של פונקציות רציפות ולכן רציפה.

אי-רציפות

פונקציה אינה רציפה בנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אם"ם אחד לפחות מבין התנאים הבאים מתקיים:

1. הגבול של הפונקציה ב- [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אינו קיים במובן הצר
2. הפונקציה אינה מוגדרת בנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]
3. הגבול קיים במובן הצר, הפונקציה מוגדרת, אך ערך הפונקציה שונה מהגבול בנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]

אנו מחלקים את נקודות אי-הרציפות לשלושה מקרים:

אי-רציפות סליקה

אומרים כי ל-f קיימת נקודת אי-רציפות סליקה בנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אם היא אינה רציפה בנקודה אך הגבול שלה בנקודה קיים במובן הצר.

במקרה זה ניתן לתקן את הפונקציה בנקודה על-מנת לקבל פונקציה רציפה בנקודה. נגיד [math]\displaystyle{ g }[/math] על-ידי:

[math]\displaystyle{ g(x):=f(x) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ x\ne x_0 }[/math]

[math]\displaystyle{ g(x_0):=\lim_{x\to x_0}f(x) }[/math]

קל להוכיח כי [math]\displaystyle{ g }[/math] רציפה בנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]

אי-רציפות ממין ראשון

אומרים כי ל- [math]\displaystyle{ f }[/math] קיימת נקודת אי-רציפות ממין ראשון בנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אם הגבולות החד-צדדיים שלה בנקודה קיימים במובן הצר ושונים.

במקרה זה ניתן לחלק את הפונקציה לשתי פונקציה שאחת רציפה מימין בנקודה והשניה רציפה משמאל בנקודה.

אי-רציפות ממין שני

כל נקודת אי-רציפות אחרת מסווגת כאי-רציפות ממין שני. זה עשוי לקרות אם הפונקציה אינה חסומה באף סביבה של הנקודה, או פשוט כאשר לא קיים אחד הגבולות הצדדים.

לדוגמא: [math]\displaystyle{ \sin\left(\tfrac{1}{x}\right) }[/math] באפס.

תרגילים

תרגיל. תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה רציפה. מצא וסווג את נקודות אי-הרציפות של

[math]\displaystyle{ g(x):=\frac{f(x)}{|f(x)|} }[/math]

פתרון. כיון שזו חלוקה של פונקציות רציפות (ההרכבה של הערך המוחלט על פונקציה רציפה גם נותנת פונקציה רציפה), אזי [math]\displaystyle{ g }[/math] רציפה בכל נקודה בה [math]\displaystyle{ f }[/math] שונה מאפס.

עוד נשים לב, שכאשר [math]\displaystyle{ f(x)\gt 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ g(x)=1 }[/math] , כאשר [math]\displaystyle{ f(x)\lt 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ g(x)=-1 }[/math] .

בנקודה בה [math]\displaystyle{ f }[/math] שווה לאפס:

• אם בסביבה מנוקבת כלשהי של הנקודה הפונקציה [math]\displaystyle{ f\gt 0 }[/math] , זוהי נקודת אי-רציפות סליקה (שכן הגבול בה הוא אחד).
• אם בסביבה מנוקבת כלשהי של הנקודה הפונקציה [math]\displaystyle{ f\lt 0 }[/math] , זוהי נקודת אי-רציפות סליקה.
• אם קיימת סביבה ימנית בה הפונקציה [math]\displaystyle{ f\gt 0 }[/math] , וקיימת סביבה שמאלית בה הפונקציה [math]\displaystyle{ f\lt 0 }[/math] (ולהפך) זוהי נקודת אי-רציפות ממין ראשון (גבול חד-צדדי שווה [math]\displaystyle{ 1 }[/math] , והשני [math]\displaystyle{ -1 }[/math] ).
• כל מצב אחר (באחד הצדדים לפחות, בכל סביבה, יש אינסוף אפסים או אינסוף שינויי סימן), זוהי נקודת אי רציפות מהמין השני שכן אין גבול ל-g בנקודה.

דוגמא. לפונקציה [math]\displaystyle{ \frac{\sin(x)}{|\sin(x)|} }[/math] יש נקודות אי-רציפות ממין ראשון בכל כפולה שלימה של פאי.

תרגיל. [math]\displaystyle{ f(x)=e^{-\frac{1}{\sin(x^2)}} }[/math]

פתרון. כיון שזו הרכבה, של חלוקה, של הרכבה, של פונקציות רציפות, הפונקציה רציפה כאשר כל הפונקציות מוגדרות ומכנה החלוקה שונה מאפס. על כן נקודות אי-הרציפות הן מהצורה:

[math]\displaystyle{ \pm\sqrt{\pi k} }[/math]

נחלק את נקודות אי-הרציפות לשניים: [math]\displaystyle{ k=0 }[/math] וכל השאר.

כאשר [math]\displaystyle{ k=0 }[/math] , מתקיים כי [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{\sin(x^2)}=\infty }[/math] כיון שהסינוס תמיד חיובי באיזור זה (הרי [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] גדול ממש מאפס). ולכן סה"כ:

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0}e^{-\frac{1}{\sin(x^2)}}=0 }[/math]

ולכן אפס היא נקודת אי-רציפות סליקה.

בשאר הנקודות, הסינוס חיובי מצד אחד, ושלילי מהצד השני ולכן בצד אחד הפונקציה אינה חסומה, והן נקודות אי-רציפות ממין שני