83-110 לינארית להנדסה תשעד סמסטר א/מערכי תרגול
83-110 לינארית להנדסה תשעד סמסטר א
הנה הטענה שהבטחתי להוכיח: יהיו [math]\displaystyle{ V }[/math] ממ"פ מימד סופי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math], [math]\displaystyle{ W }[/math] ת"מ שלו. אזי [math]\displaystyle{ (W^{\perp})^{\perp}=W }[/math]
הוכחה: נוכיח רק את הכיוון [math]\displaystyle{ (\subseteq) }[/math] (הכיוון השני פשוט ועשינו בכיתה): יהא [math]\displaystyle{ x\in (W^{\perp})^{\perp} }[/math] צ"ל [math]\displaystyle{ x\in W }[/math]. כיוון ש [math]\displaystyle{ V }[/math] ממימד סופי אזי ניתן למצוא בסיס או"ג ל [math]\displaystyle{ W }[/math] ולמצוא הטלה [math]\displaystyle{ u=\pi_W(x) }[/math] של [math]\displaystyle{ x }[/math] על [math]\displaystyle{ W }[/math]. מתקיים [math]\displaystyle{ x=u+(x-u) }[/math]ומהגדרת היטל מתקיים [math]\displaystyle{ u\in W, (x-u)\in W^{\perp} }[/math].
כלומר [math]\displaystyle{ x=x_1+x_2 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ x_1\in W, x_2\in W^{\perp} }[/math] ובפרט [math]\displaystyle{ \lt x_1,x_2\gt =0 }[/math].
כעת רוצים להוכיח כי [math]\displaystyle{ x_2=0 }[/math].
כיוון ש [math]\displaystyle{ x\in (W^{\perp})^{\perp} }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \forall v\in W^{\perp}:\lt x,v\gt =0 }[/math] בפרט עבור [math]\displaystyle{ x_2 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \lt x,x_2\gt =0 }[/math]. ולכן
[math]\displaystyle{ ||x_2||^2=\lt x_2,x_2\gt =\lt x_2,x_2\gt +\lt x_1,x_2\gt =\lt x_2+x_1,x_2\gt =\lt x,x_2\gt =0 }[/math]
שזה גורר [math]\displaystyle{ x_2=0 }[/math] כנדרש
הוכחה של כלל קרמר ניתן למצוא פה כלל קרמר בויקיפדיה