חקירת פונקציות

נושא חקירת פונקציות בקורס חשבון אינפיניטיסימלי כוללת מחקר סט תכונות מוסכם (פחות או יותר):

תחום הגדרה (קביעה באילו נקודות הפונקציה מוגדרת)
זוגיות (קביעה האם הפונקציה זוגית, אי-זוגית או לא)
תחומי מונוטוניות ומציאת נקודות קיצון
תחומי קמירות ומציאת נקודות פיתול
אסימפטוטות מאונכות
נקודות חיתוך עם הצירים
אסימפטוטות משופעות ומציאת התנהגות באינסוף
תרפיה בתרשים- ציור גרף הפונקציה

תרגילים

דוגמא מספר 1 - [math]\displaystyle{ f(x)=x^{2}-6x+5 }[/math]

תחום הגדרה

הגדרה: [math]\displaystyle{ תהא f(x) }[/math] פונקציה. תחום ההגדרה של [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] היא A- אוסף כל הנקודות בהם [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] מוגדרת

דוגמא: תחום ההגדרה של [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] הוא כל הישר [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]

זוגיות/אי זוגיות

הגדרה: [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] תקרא זוגית אם [math]\displaystyle{ f(x)=f(-x) }[/math] הגדרה: [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] תקרא אי זוגית אם [math]\displaystyle{ f(x)=-f(-x) }[/math]

דוגמא: [math]\displaystyle{ f(-x)=x^{2}+6x+5\not=\,\pm\, f(x) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] אינה זוגית ואינה אי זוגית

חיתוך עם הצירים

החיתוך עם ציר x הן הנקודות [math]\displaystyle{ (1,0).(5.0) }[/math]

החיתוך עם ציר y היא הנקודה [math]\displaystyle{ (0,5) }[/math]

נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה

הגדרה: תהא [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]פונקציה. נאמר ש [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] עולה (יורדת) בתחום [math]\displaystyle{ U }[/math] אם [math]\displaystyle{ \forall x\lt y\in U:\, f(x)\leq f(y) }[/math] ([math]\displaystyle{ \forall x\lt y\in U:\, f(x)\geq f(y) }[/math])

הגדרה: תהא [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] פונקציה. [math]\displaystyle{ x_{0} }[/math] תקרא נקודת קיצון- מקס' (או מינ') אם קיימת לה סביבה [math]\displaystyle{ U }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \forall x\in U:f(x)\leq f(x_{0}) }[/math] (או [math]\displaystyle{ \forall x\in U:f(x)\geq f(x_{0}) }[/math] )

משפט: אם [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] גזירה בנקודת קיצון [math]\displaystyle{ x_{0} }[/math] אזי [math]\displaystyle{ f'(x_{0})=0 }[/math]

מסקנה: בשביל למצוא נקודות קיצון של [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] מספיק לבדוק מתי [math]\displaystyle{ f'(x)=0 }[/math] או מתי הנגזרת אינה קיימת כלל.

דוגמא - נמצא את הנקודות האפשריות לנקודות קיצון ל [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]:

[math]\displaystyle{ f'(x)=2x-6 }[/math] ולכן הנקודה החשודה היחידה היא [math]\displaystyle{ x_{0}=3 }[/math]

מקס' או מיני'

איך יודעים אם מדובר בנקודות קיצון ואם מדובר בקיצון מקס' או בקיצון מיני'?

בדיקת הפונצקיה עצמה- הנקודות החשודות מחלקות את הישר לקטעים. נציב בכל קטע נקודה ונבדוק מה מתקבל:למשל נציב [math]\displaystyle{ f(0)=5\,,f(3)=-4,f(6)=5 }[/math]

ולכן 3 נקודת מיני הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הפונצקיה היתה מחליפה מיקום )ביחס לנקודות החשודות( איפה שהוא אזי היתה נוצרת נקו' קיצון ואז היינו מגלים אותה בשלב הקודם.

בדיקת ערכי הנגזרת- נבדוק את סימן הנגזרת מימין ומשמאל לנקודות (

מסתמך על העובדה כי : אם [math]\displaystyle{ f'(x)\leq0 }[/math] בקטע I אזי הפונקציה יורדת שם. אם [math]\displaystyle{ f'(x)\geq0 }[/math] אז הפונקציה עולה שם): [math]\displaystyle{ f'(0)\lt 0\,,f'(4)\gt 0 }[/math] ולכן משמאל ל 3 הפונקציה יורדת ומימין ל 3 היא עולה ולכן 3 נקודות מיני'הערה: בשלב זה מצב כי תחום העליה של [math]\displaystyle{ f }[/math] הוא [math]\displaystyle{ [3.\infty) }[/math] ותחום הירידה [math]\displaystyle{ (-\infty,3] }[/math]

הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הנגזרת היתה מחליפה איפה שהוא את סימנה אזי היתה נוצרת נקו' קיצון ואז היינו מגלים אותה בשלב הקודם.

מבחן הנגזרת השניה- אם [math]\displaystyle{ f'(x_{0})=0 }[/math]

ומתקיים [math]\displaystyle{ f"(x_{0})\gt 0 }[/math] (או [math]\displaystyle{ f"(x)\lt 0 }[/math] ) אז [math]\displaystyle{ x_{0} }[/math] נקודות מיני' (או מקס'):

אצלנו [math]\displaystyle{ f"(x)=2 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f"(2)\gt 0 }[/math]

תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול

תהא [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] גזירה בנקודה [math]\displaystyle{ x_{0} }[/math] אזי נאמר שהפונצקיה קעורה כלפי מעלה (כלפי מטה) ב [math]\displaystyle{ x_{0} }[/math] אם קיימת סביבה [math]\displaystyle{ U }[/math]של [math]\displaystyle{ x_{0} }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ x\in U }[/math] מתקיים:

[math]\displaystyle{ f(x)\geq f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0}) }[/math]

([math]\displaystyle{ f(x)\leq f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0}) }[/math])

נאמר ש [math]\displaystyle{ x_{0} }[/math] נקודת פיתול אם קיימת סביבה [math]\displaystyle{ U }[/math] ימנית בה [math]\displaystyle{ f(x)\geq f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0}) }[/math] וסביבה שמאלית [math]\displaystyle{ V }[/math] בה [math]\displaystyle{ f(x)\leq f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0}) }[/math]

 או להיפך.

משפט: [math]\displaystyle{ f"(x_{0})\gt 0 }[/math] [math]\displaystyle{ (f"(x_{0})\lt 0) }[/math] אז [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] קעורה כלפי מעלה (כלפי מטה) ב-[math]\displaystyle{ x_{0} }[/math]

משפט: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם [math]\displaystyle{ f"(x) }[/math] אינה קיימת או ש [math]\displaystyle{ f"(x)=0 }[/math]

דוגמא: f"(x)=2 ולכן אין נקודות פיתול והפונקציה קעורה כלפי מעלה בכל הישר.

אסימטוטות

הגדרה: אסימטוטה אנכית ל [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] היא קו מהצורה [math]\displaystyle{ x=a }[/math] כך שמתקיים [math]\displaystyle{ lim_{x\to a}|f(x)|=\infty }[/math] אצלנו אין אסימטוטה אנכית.

הגדרה: אסימטוטה אופקית היא ישר [math]\displaystyle{ l(x)=ax+b }[/math] המקיים [math]\displaystyle{ lim_{x\to\infty}|f(x)-l(x)|=0 }[/math] או [math]\displaystyle{ lim_{x\to-\infty}|f(x)-l(x)|=0 }[/math]

איך מוצאים ? מתקיים

[math]\displaystyle{ a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x} }[/math]

ואז [math]\displaystyle{ b=lim_{x\to\infty}(f(x)-ax) }[/math]

דוגמא- אצלנו:

[math]\displaystyle{ a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}-6x+5}{x}=\inft }[/math]y ולכן אין אסימטוטה אופקית

התנהגות הפונצקיה באינסוף

עבור הדוגמא שלנו [math]\displaystyle{ lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\infty }[/math]

ציור הפונקציה

דוגמא 2: [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{\ln(x)}{x} }[/math]

תחום הגדרה

[math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math]כי [math]\displaystyle{ \ln(x) }[/math] לא מוגדרת עבור [math]\displaystyle{ x }[/math]-ים שליליים.

זוגיות/אי זוגיות

לא שייך בגלל תחום ההגדרה.

חיתוך עם הצירים

החיתוך עם ציר [math]\displaystyle{ x }[/math] הוא [math]\displaystyle{ (1,0) }[/math]

החיתוך עם ציר y לא קיים בגלל תחום ההגדרה

נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה

[math]\displaystyle{ f'(x)=\frac{1-\ln(x)}{x^{2}} }[/math] לכן יש לה נקודה חשודה ב [math]\displaystyle{ x=e }[/math]

הסימן של [math]\displaystyle{ f" }[/math] נקבע ע"י [math]\displaystyle{ -x-2x(1-\ln(x))=-x(3-2\ln(x)) }[/math]

[math]\displaystyle{ f(e)\lt 0 }[/math] ולכן זוהי נקודת מקס'

תחומי העלייה של הפונקציה [math]\displaystyle{ \left(0,e\right) }[/math]

תחומי ירידה [math]\displaystyle{ \left(e,\infty\right) }[/math]

תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול

הסימן של [math]\displaystyle{ f" }[/math] נקבע ע"י [math]\displaystyle{ -x(3-2\ln(x)) }[/math] ולכן נקודות חשודות לפיתול הם [math]\displaystyle{ e^{3/2} }[/math]

[math]\displaystyle{ f"(e)\lt 0,f"(e^{4})\gt 0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ e^{3/2}\approx10 }[/math] נקודת פיתול

הפונקציה קעורה כלפי מטה ב [math]\displaystyle{ \left(0,e^{3/2}\right) }[/math]

הפונצקיה קעורה כלפי מעלה ב [math]\displaystyle{ \left(e^{3/2},\infty\right) }[/math]

אסימטוטות

אסימטוטה אנכית ב [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] כיוון ש [math]\displaystyle{ \lim_{x\to0^{+}}f(x)=-\infty }[/math]

אסימטוטה אופקית: [math]\displaystyle{ a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x^{2}}=lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}}{2x}=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ b=lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)=lim_{x\to}\frac{\ln(x)}{x}=0 }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ l(x)=0 }[/math] אסימטוטה אופקית

התנהגות הפונצקיה באינסוף

עבור הדוגמא שלנו [math]\displaystyle{ lim_{x\to\infty}f(x)=0 }[/math]

ציור הפונקציה

דוגמא 3: [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}} }[/math]

תחום הגדרה

תחום ההגדרה של הוא [math]\displaystyle{ x\not=\pm\sqrt{12} }[/math]

זוגיות/אי זוגיות

[math]\displaystyle{ f(-x)=\frac{-x^{3}}{12-x^{2}}=-f(x) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] אי זוגית

נקודות קיצון

[math]\displaystyle{ f'(x)=\frac{3x^{2}(12-x^{2})+2x^{4}}{(12-x^{2})^{2}}=\frac{x^{2}(36-x^{2})}{(12-x^{2})^{2}} }[/math] ולכן הנקודות החשודות הן [math]\displaystyle{ x_{0}=0,\pm6,\pm\sqrt{12} }[/math] (נשים לב שהנקודות [math]\displaystyle{ \pm\sqrt{12}=\pm3.464 }[/math]) אינן נקודות קיצון כי אינן בתחום ההגדרה.

מקס' או מיני'

הסימן של הנגזרת השניה בנקודה x נקבע ע"י

[math]\displaystyle{ (72x-4x^{3})(12-x^{2})^{2}+4x(12-x^{2})x^{2}(36-x^{2}) = x(12-x^{2})[(72-4x^{2})(12-x^{2})+4x^{2}(36-x^{2})] = x(12-x^{2})[72\cdot12+24x^{2}] = 24x(12-x^{2})[36+x^{2}] }[/math]

[math]\displaystyle{ f"(6)\lt 0,f"(-6)\gt 0 }[/math] [math]\displaystyle{ f"(0)=0 }[/math]

 ולכן לא ניתן לדעת לפי בדיקה זאת!

תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול

דוגמא: f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}}

 אזי f'(x)=\frac{3x^{2}(12-x^{2})+2x^{4}}{(12-x^{2})^{2}}=\frac{x^{2}(36-x^{2})}{(12-x^{2})^{2}}
 ו f"(x)=\frac{24x(12-x^{2})[36+x^{2}]}{(12-x^{2})^{4}}

הנקודות החשודות לפיתלול הם 0,\pm\sqrt{12}

 הסימן של f"(x)
 נקבע לפי החלק x(12-x^{2})

נבדוק f"(-4)>0,f"(-1)<0,f(0)=0,f(1)>0,f(4)<0

. ומכאן מסיקים כי

בקטע (-\infty,-\sqrt{12})

 הפונצקיה קעורה כלפי מעלה

בקטע (-\sqrt{12},0)

 הפונצקיה קעורה כלפי מטה

בקטע (0,\sqrt{12})

 הפונצקיה קעורה כלפי מעלה

בקטע (\sqrt{12},\infty)

 הפונצקיה קעורה כלפי מטה

ובנקודה 0

 יש נקודות פיתול )כי הנגזרת השניה שלילית עד אליה וחיובית ממנה(

אסימטוטות

הגדרה: אסימטוטה אנכית ל f(x)

 היא קו מהצורה x=a
 כך שמתקיים lim_{x\to a}|f(x)|=\infty
.

דוגמא f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}}

 יש 2 אסימטוטות אנכיות ב x=\pm\sqrt{12}

כי lim_{x\to-\sqrt{12}^{+}}f(x)=lim_{x\to\sqrt{12}^{+}}f(x)=-\infty

lim_{x\to-\sqrt{12}^{-}}f(x)=lim_{x\to\sqrt{12}^{-}}f(x)=\infty

הגדרה: אסימטוטה אופקית היא ישר l(x)=ax+b

 המקיים lim_{x\to\infty}|f(x)-l(x)|=0
 או lim_{x\to-\infty}|f(x)-l(x)|=0

מתקיים a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}

 ואז b=lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)

דוגמא: f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}}

 נמצא אסימטוטות:

a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{x(12-x^{2})}=-1

b=lim_{x\to\infty}(\frac{x^{3}}{12-x^{2}}+x)=lim_{x\to\infty}(\frac{12x}{12-x^{2}})=0

באותו אופן גם אסימטוטה לכיוון x\to-\infty

 תצא אותו דבר.

ולכן l(x)=-x

 אסימטוטה אנכית

התנהגות הפונצקיה באינסוף

עבור הדוגמא שלנו lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{12-x^{2}}=-\infty,lim_{x\to-\infty}\frac{x^{3}}{12-x^{2}}=\infty

ציור הפונקציה

משפטים לסיכום

.1 אם f(x)

 גזירה בנקודת קיצון x_{0}
 אזי f'(x_{0})=0

.2 מבחן הנגזרת השניה- אם f'(x_{0})=0

 ומתקיים f"(x_{0})>0
 )או f"(x)<0
( אז x_{0}
 נקודות מיני' )או מקס'(

.3 אם f'(x)\leq0

 בקטע I
 אזי הפונקציה יורדת שם. אם f'(x)\geq0
 אז הפונקציה עולה שם

.4 אם f"(x_{0})>0

 )f"(x_{0})<0
 ( אז f(x)
 קעורה כלפי מעלה )כלפי מטה( ב-x_{0}
.מסקנה: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם f"(x)
 אינה קיימת או ש f"(x)=0