שיטת ההצבה
שיטת ההצבה
שיטת ההצבה היא שיטת החלפת משתנים לצורך אינטגרציה, לפי כלל-השרשרת לגזירה.
[math]\displaystyle{ \frac{d}{dx}f\big(g(x)\big)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x) }[/math]
לכן, נוסחת ההצבה הנה:
- [math]\displaystyle{ \int{f\big(g(x)\big)\cdot g'(x)dx}=F\big(g(x)\big)+C }[/math]
כאשר [math]\displaystyle{ F'=f }[/math] .
סימון נוח יותר לאותה הנוסחא:
[math]\displaystyle{ \int{f\big(g(x)\big)\cdot g'(x)dx} }[/math]
נסמן [math]\displaystyle{ g(x)=t }[/math]
ולכן [math]\displaystyle{ g'(x)\cdot dx=dt }[/math]
ולכן [math]\displaystyle{ \displaystyle\int{f\big(g(x)\big)\cdot g'(x)dx}=\int{f(t)dt}=F(t)+C=F\big(g(x)\big)+C }[/math]
הסימון הזה נוח יותר לפתרון תרגילים מאשר הסימון הראשון שנובע ישירות מכלל-השרשרת.
אלגוריתם לביצוע הצבה
נתאר כעת את השלבים בביצוע הצבה, במקרים שונים.
- בוחרים הצבה [math]\displaystyle{ t=g(x) }[/math] או [math]\displaystyle{ x=h(t) }[/math] .
- גוזרים את שני הצדדים וכופלים ב- [math]\displaystyle{ dx,dt }[/math] .
- [math]\displaystyle{ dt=g'(x)dx }[/math] או [math]\displaystyle{ dx=h'(t)\cdot dt }[/math] .
- במקרה הראשון, אם הביטוי [math]\displaystyle{ g'(x)dx }[/math] אינו מופיע באינטגרל, והפונקציה [math]\displaystyle{ g }[/math] הפיכה, נחליף להצבה [math]\displaystyle{ x=g^{-1}(t) }[/math]
- כמו כן, אם לאחר ההצבה נותרו מופעים של המשתנה x, נוכל להשלים את ההצבה רק אם g הפיכה ע"י [math]\displaystyle{ x=g^{-1}(t) }[/math]
דוגמאות
א)
[math]\displaystyle{ \int{\sin(\sqrt{x})dx} }[/math]
ננסה להציב [math]\displaystyle{ t=\sqrt{x} }[/math] .
נגזור ונקבל [math]\displaystyle{ dt=\frac1{2\sqrt{x}}dx }[/math]
אבל הביטוי [math]\displaystyle{ \frac1{2\sqrt{x}}dx }[/math] אינו מופיע באינטגרל!
לכן נבצע את ההצבה ההפוכה (שמובילה לתוצאה זהה ביתר קלות) [math]\displaystyle{ x=t^2 }[/math].
נגזור ונקבל [math]\displaystyle{ dx=2t\cdot dt }[/math]
לכן
- [math]\displaystyle{ \int{\sin(\sqrt{x})dx}=\int{\sin(t)2t\ dt} }[/math]
ואת ההמשך ניתן לפתור ע"י אינטגרציה בחלקים.
ב)
[math]\displaystyle{ \int{\tan(x)dx}=-\int{\frac1{\cos(x)}\cdot\big(-\sin(x)\big)dx} }[/math]
נסמן [math]\displaystyle{ f(x)=\frac1{x}\ ,\ g(x)=\cos(x) }[/math]
לכן [math]\displaystyle{ F(x)=\ln(|x|),g'(x)=-\sin(x) }[/math] וסה"כ האינטגרל הוא מהצורה:
- [math]\displaystyle{ -\int{f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)dx}=-F\big(g(x)\big)+C=-\ln\big(|\cos(x)|\big)+C }[/math]
ג)
[math]\displaystyle{ \int{\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}}=\int{\frac1{|a|\sqrt{1-\left(\tfrac{x}{|a|}\right)^2}}} }[/math]
נציב
- [math]\displaystyle{ t=\frac{x}{|a|} }[/math]
לכן
- [math]\displaystyle{ dt=\frac1{|a|}dx }[/math]
לכן
- [math]\displaystyle{ |a|dt=dx }[/math]
ולכן
[math]\displaystyle{ \int{\frac1{|a|\sqrt{1-\left(\frac{x}{|a|}\right)^2}}}=\frac1{|a|}\int{\frac{|a|dt}{\sqrt{1-t^2}}}=\arcsin(t)+C=\arcsin\left(\frac{x}{|a|}\right)+C }[/math]
הצבות אוניברסאליות
הצבות אוניברסאליות הוא כינוי כללי להצבות המעבירות פונקציות ממשפחה מסוימת לצורה של פונקציה רציונאלית אותה אנחנו יודעים לפתור. שימו לב שכיון ופתרון פונקציה רציונאלית דורש פירוק פולינומים, לעתים המעבר לפונקציה רציונאלית לא יקדם אותנו לקראת פתרון הבעיה.
הצבות אוניברסאליות ידועות ניתן למצוא בקובץ הבא: (עד אשר מישהו יקליד אותו אל תוך הויקי...)