אנליזת פורייה - ארז שיינר

תקציר ההרצאות

הקדמה

גלים

• מבלי להגדיר גל במפורש, גל הוא תופעה מחזורית.
• לגל שהוא פונקציה במשתנה אחד של ציר הזמן יש שלוש תכונות:
  • תדר או אורך גל (אחד חלקי המחזור או המחזור)
  • אמפליטודה (מרחק בין המקסימום למינימום)
  • פאזה (מהי נק' ההתחלה של המחזור).
• אנחנו נתרכז כמעט באופן בלעדי בפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס, ונקרא להם גלים טריגונומטריים.

• מדוע דווקא סינוס וקוסינוס?
• למדנו במד"ר על המשוואה [math]\displaystyle{ y''=-k^2y }[/math] שהפתרון הכללי שלה הוא [math]\displaystyle{ y=a\sin(kt)+b\cos(kt) }[/math].
• הקבוע [math]\displaystyle{ k }[/math] קובע את התדר של כל גל.
• הקבועים [math]\displaystyle{ a,b }[/math] קובעים את האמפליטודה של כל גל.
• מה לגבי הפאזה?
  • בפונקציה [math]\displaystyle{ a\sin(kt+t_0) }[/math], הקבוע [math]\displaystyle{ t_0 }[/math] קובע את הפאזה.
  • ניתן להציג כל גל כזה באמצעות סינוס וקוסינוס ללא פאזה:
    • [math]\displaystyle{ a\sin(kt+t_0)=(a\sin(t_0))cos(kt)+(a\cos(t_0))sin(kt) }[/math]

• האם גם ההפך נכון? כלומר האם כל צירוף לינארי [math]\displaystyle{ a\sin(kt)+b\cos(kt) }[/math] ניתן להציג כגל יחיד?
• תשובה: כן.
• הוכחה:
  • נסמן [math]\displaystyle{ z=a+bi=rcis(\theta) }[/math]
  • כלומר [math]\displaystyle{ a\sin(kt)+b\cos(kt)=r\sin(\theta)sin(kt)+r\cos(\theta)cos(kt)=rcos(kt-\theta) }[/math]
• שימו לב:
  • סכמנו שני גלים מאותו תדר עם פאזה אפס, וקיבלנו גל חדש.
  • הגל החדש הוא מאותו תדר כמו שני הגלים.
  • לגל החדש יש פאזה שאינה אפס.
  • האפליטודה של הגל החדש היא [math]\displaystyle{ r=\sqrt{a^2+b^2} }[/math].

• האם כל פונקציה היא סכום של גלים?
• בהנתן פונקציה שהיא סכום של גלים, כיצד נמצא מיהם הגלים המרכיבים אותה?
• האם יש דרך יחידה להרכיב פונקציה מגלים? (למעשה כבר ראינו שלא באופן כללי - הרי הצלחנו להציג גל אחד כסכום של שני גלים אחרים).
• למה בכלל מעניין אותנו לפרק פונקציה לגלים?
• במהלך ההרצאות נענה (לפחות חלקית) על השאלות הללו.

טורי פורייה

• טור פורייה הוא טור מהצורה [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right] }[/math]

• אם פונקציה שווה לטור פורייה שלה, מהם המקדמים [math]\displaystyle{ a_n,b_n }[/math]?

• נבצע כמה חישובים כהקדמה:

[math]\displaystyle{ \sin(a)\sin(b)=\frac{1}{2}\left[\cos(a-b)-\cos(a+b)\right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}sin(nx)sin(nx)dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(1-\cos(2nx))dx = \frac{1}{2\pi}\left[x-\frac{1}{2n}\sin(2nx)\right]_{-\pi}^{\pi}=1 }[/math]