מתמטיקה בדידה - ארז שיינר
מתוך Math-Wiki
תוכן עניינים
- 1 חומר עזר
- 2 סרטוני ותקציר הרצאות
- 2.1 פרק 1 - מבוא ללוגיקה מתמטית
- 2.2 פרק 2 - מבוא לתורת הקבוצות
- 2.3 פרק 3 - יחסים
- 2.4 פרק 4 - פונקציות
- 2.5 פרק 5 - עוצמות
- 2.5.1 מבוא
- 2.5.2 השוואת עוצמות
- 2.5.3 משפט קנטור
- 2.5.4 קבוצות בנות מנייה
- 2.5.5 חשבון עוצמות (אריתמטיקה של עוצמות)
- 2.5.6 משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין
- 2.5.7 איחוד בן מנייה של קבוצות בנות מנייה
- 2.5.8 אקסיומת הבחירה ועקרון המקסימום של האוסדורף
- 2.5.9 השוואת עוצמות
- 2.5.10 סכום ומכפלה של עוצמות אינסופיות שווה לגדולה מבין העוצמות
- 2.5.11 הקשר בין עוצמת הטבעיים לעוצמת הממשיים
- 2.5.12 תרגול
חומר עזר
סרטוני ותקציר הרצאות
פרק 1 - מבוא ללוגיקה מתמטית
פסוקים, קשרים, כמתים, פרדיקטים
תרגול
אינדוקציה
תרגול
פרק 2 - מבוא לתורת הקבוצות
קבוצות ופעולות על קבוצות
שיטות הוכחה בסיסיות
איחוד וחיתוך כלליים
קבוצת החזקה
תרגול
פרק 3 - יחסים
מכפלה קרטזית ויחסים
יחסי שקילות
תרגול
יחסי סדר
איברים מינימליים ומקסימליים, וחסמים
תרגול
פרק 4 - פונקציות
הגדרת פונקציות
חח"ע ועל, תמונה ותמונה הפוכה
הרכבת פונקציות, פונקציות הפיכות
פונקציה מוגדרת היטב
תרגול
פרק 5 - עוצמות
מבוא
השוואת עוצמות
- A שקולת עוצמה לB או עוצמתה של A שווה לB, אם קיימת פונקציה הפיכה (חח"ע ועל)
.
- במקרה זה מסמנים
או
.
- כל קבוצה שקולת עוצמה לעצמה
- אם A שקולת עוצמה לB, גם B שקולת עוצמה לA
- אם A שקולת עוצמה לB וB שקולת עוצמה לC אזי A שקולת עוצמה לC
- עוצמתה של A קטנה או שווה לזו של B, אם קיימת פונקציה חח"ע
.
- במקרה זה מסמנים
- כל קבוצה A השקולת עוצמה לקבוצת הטבעיים מסומנת
- כל קבוצה A השקולת עוצמה לקבוצת הממשיים מסומנת
משפט קנטור
קבוצות בנות מנייה
- קבוצה A נקראת בת מנייה אם
- כל קבוצה A בת מנייה אינסופית מקיימת
חשבון עוצמות (אריתמטיקה של עוצמות)
חיבור עוצמות
כפל עוצמות
חזקת עוצמות
- חוקי חזקות
עוצמת קבוצת החזקה
השוואת חשבון עוצמות
משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין
- אם
וגם
אזי
למת נקודת השבת
- תהי פונקציה עולה
כלומר המקיימת לכל
כי
- אזי קיימת נק' שבת
כך ש
.
הוכחת המשפט
עוצמות קטעים ממשיים
איחוד בן מנייה של קבוצות בנות מנייה
אקסיומת הבחירה ועקרון המקסימום של האוסדורף
אקסיומת הבחירה
- תהיינה
אזי
אם ורק אם קיימת
על.
עקרון המקסימום של האוסדורף
אלף אפס היא העוצמה האינסופית הקטנה ביותר
(בהנחת עקרון המקסימום של האוסדורף)
השוואת עוצמות
סכום ומכפלה של עוצמות אינסופיות שווה לגדולה מבין העוצמות
הקשר בין עוצמת הטבעיים לעוצמת הממשיים