הקדמה

אנחנו מעוניינים שבמערכת המספרים שלנו יהיה פתרון למשוואה [math]\displaystyle{ x^2=2 }[/math] (שורש שתיים).

הרי אחרת, מה המרחק מהנקודה [math]\displaystyle{ (1,1) }[/math] לראשית הצירים [math]\displaystyle{ (0,0) }[/math]?

האם ייתכן שהפרבולה [math]\displaystyle{ y=x^2-2 }[/math] עולה מהנקודה [math]\displaystyle{ (0,-2) }[/math] אל הנקודה [math]\displaystyle{ (2,2) }[/math] בלי לחתוך את ציר האיקס?

כיצד ניתן לתאר את נקודת החיתוך החיובית של הפרבולה [math]\displaystyle{ y=x^2-2 }[/math] עם ציר האיקס באמצעות המספרים הרציונאליים אם כך?

(נבנה באמצעות גאוגברה.)

כלומר, אולי אנחנו יכולים לייצג את נקודת החיתוך על ידי אוסף הנקודות שקטנות ממנה [math]\displaystyle{ \left\{x\in\mathbb{Q}| x\lt 0 \vee x^2 \lt 2\right\} }[/math], זו הקרן באיור.

הרעיון הזה של חיתוך ציר הרציונאליים סביב נקודה בלתי קיימת הוליד את חתכי דדקינד.

חתכי דדקינד

הגדרה: חתך דדקינד הוא קבוצה [math]\displaystyle{ A\subseteq\mathbb{Q} }[/math] המקיימת:
- [math]\displaystyle{ A\neq\emptyset }[/math]
- [math]\displaystyle{ A }[/math] חסומה מלעיל.
- לכל [math]\displaystyle{ m\in\mathbb{Q} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ m\notin A }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ m }[/math] חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A }[/math]

הערות ותזכורות:
- חסם מלעיל של קבוצה הוא מספר שגדול יותר מכל איברי הקבוצה.
- בחתך דדקינד אין מספר גדול ביותר, אחרת זה היה חסם מלעיל ששיך לקבוצה.
- אם מספר שייך לחתך, בוודאי כל מספר נמוך ממנו שייך לחתך הרי לא ייתכן שמספר נמוך ממנו הוא חסם מלעיל.

יהיו שתי חתכים [math]\displaystyle{ A,B }[/math], נגדיר את החיבור:
- [math]\displaystyle{ A+B=\left\{a+b|a\in A,b\in B\right\} }[/math]

החיבור הוא חתך דדקינד בעצמו:
- כיוון שA,B אינן ריקות גם A+B אינה ריקה.
- סכום חסמי מלעיל של A וB חוסם את A+B.
- יהי [math]\displaystyle{ a+b\in A+B }[/math], כיוון שאיברי החתכים אינם חסמי מלעיל, קיימים [math]\displaystyle{ a\lt c\in A }[/math] וכן [math]\displaystyle{ b\lt d\in B }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ a+b\lt c+d\in A+B }[/math] ו[math]\displaystyle{ a+b }[/math] אינו חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A+B }[/math]
- יהי [math]\displaystyle{ m\in\mathbb{Q} }[/math] שאינו חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A+B }[/math], לכן קיימים [math]\displaystyle{ m\lt a+b\in A+B }[/math]. כעת [math]\displaystyle{ m-a\lt b }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ m-a }[/math] אינו חסם מלעיל של B ולכן שייך לקבוצה. סה"כ [math]\displaystyle{ m=a+(m-a)\in A+B }[/math].