88-212 תשפא סמסטר ב

88-212 מבוא לחוגים ומודולים

מרצה: פרופ' מיכאל שיין.

מתרגל: גיא בלשר.

שעות קבלה: בתיאום מראש.

קישורים

שאלות ותשובות (כן! גם אתם יכולים לשאול ולענות.)

הודעות

במהלך הקורס יתקיימו שני בחנים, בתאריכים:

29.4.2021 - בשעה 18:00
20.5.2021 - בשעה 18:00

החומר ופרטים נוספים יפורסמו לקראת הבחנים.

תרגילי בית

תרגילי הבית אינם להגשה, אך מומלץ מאוד לפתור אותם על מנת לעקוב אחרי הנעשה בקורס. בנוסף, ייתכן שבחלק מהתרגולים נשתמש בטענות ובדוגמאות המופיעות בתרגילי הבית.

תרגיל 1, פתרון תרגיל 1
תרגיל 2, פתרון תרגיל 2
תרגיל 3 (תוקנה טעות בשאלה 6ג' - חיתוך אידאלים במקום מכפלה. הטענה על מכפלה נכונה רק בחוגים חילופיים).
תרגיל 4

קבצי הרצאות

קבצי תרגולים

השלמה מתרגול 4: הוכחה מלאה לכך ש-[math]\displaystyle{ \mathbb{C}[x,y]/\langle xy-1\rangle\cong\mathbb{C}[t,t^{-1}] }[/math], נמצאת פה.

תשובות לשאלות מהתרגול

שאלה: האם קיימים חוגים לא איזומורפיים [math]\displaystyle{ R,S }[/math] כך שהחבורות החיבוריות שלהם איזומורפיות וגם המונואידים הכפליים שלהם (כלומר [math]\displaystyle{ R\setminus\{0\},S\setminus\{0\} }[/math] ביחס לפעולות הכפל המתאימות) איזומורפיים?

תשובה: כן. אפשר למשל לקחת [math]\displaystyle{ R=F[x],S=F[x,y] }[/math]. נדע להוכיח את הטענה הזו בהמשך הקורס (ואז אוסיף לפה את רעיון ההוכחה).

שאלה: האם מכפלה נקודתית של קוסטים שווה למכפלה של קוסטים כפי שהגדרנו אותה? כלומר, האם [math]\displaystyle{ (a+I)(b+I)=ab+I\overset{?}{=}\{(a+x)(b+y)\mid x,y\in I\} }[/math]?

תשובה: לא! באופן כללי יש הכלה של המכפלה הנקודתית (אגף ימין) באגף שמאל, אך לא חייב להיות שוויון. ניקח למשל [math]\displaystyle{ R=\mathbb{Z} }[/math] ו-[math]\displaystyle{ I=4\mathbb{Z} }[/math]. אפשר לבדוק שבמקרה הזה [math]\displaystyle{ (2+4\mathbb{Z})^2=4\mathbb{Z} }[/math] לפי הגדרת הכפל שלנו, אך [math]\displaystyle{ 0 }[/math] אינו מופיע כאיבר במכפלה הנקודתית (כי אף קוסט אינו מכיל את [math]\displaystyle{ 0 }[/math]).

שאלה: איך נראה חוג שבו כל תת-חוג הוא אידאל? (לחוגים שמקיימים את התכונה הזו קוראים חוגים המילטוניים, ובאנגלית בקיצור H-rings).

תשובה: נראה כי חוג כזה חייב להיות [math]\displaystyle{ \{0\} }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} }[/math] או [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math]. נניח שהחוג שלנו הוא לא חוג האפס, ונסתכל על תת-החוג [math]\displaystyle{ S }[/math] הנוצר על ידי [math]\displaystyle{ 1 }[/math]. זו בעצם התמונה של ההומומורפיזם היחיד [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}\to R }[/math]. לפי ההנחה, [math]\displaystyle{ S }[/math] חייב להיות אידאל. אבל אז לכל [math]\displaystyle{ a\in R }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a=a\cdot 1\in S }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ R=S }[/math]. מפה אפשר לקבל את הטענה בקלות.

השאלה הזו נהיית מעניינת יותר אם עוברים לחוגים בלי יחידה. שם אין לנו מיון מלא של כל החוגים ההמילטוניים ללא יחידה, אבל יש עבודות בנושא.

חומר נוסף

חוברת מערכי תרגול משנת תשע"ח גרסה 1.15, נכתבה על ידי תומר באואר. שימו לב כי אמנם ההתחלה תהיה דומה, אך במהלך הקורס יהיו שינויים יותר משמעותיים במערכי התרגול, בהתאם לקצב ההתקדמות ולנושאים שיילמדו השנה.