פונקצית האקספוננט

בערך זה נגדיר את פונקצית האקספוננט ונוכיח תכונות חשובות שלה.

אמנם יש דרכים אחרות להגדיר את e וחזקות של מספרים, אנחנו נציג גרסא מבוססת על כלים מתקדמים (טורי חזקות) המתאימה גם לשדה המספרים המרוכבים.

הגדרת פונקצית האקספוננט

לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb{C} }[/math] נגדיר את פונקצית האקספוננט

[math]\displaystyle{ e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} }[/math]

(קל לוודא כי טור החזקות הנ"ל מתכנס בכל שדה המרוכבים.)

נגדיר את המספר e להיות

[math]\displaystyle{ e^1 =\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} }[/math]

נשים לב כי

[math]\displaystyle{ e^0=\sum_{n=0}^\infty \frac{0^n}{n!}=1 }[/math]

כן כן, [math]\displaystyle{ 0^0=1 }[/math], אני הרגע אמרתי את זה.

הקוראים עשויים להזדעק ולומר שהסימון [math]\displaystyle{ e^x }[/math] שמור לחזקה של שני מספרים; ובכן, אנחנו נגדיר חזקה של שני מספרים באמצעות האקספוננט ונוכיח את התכונות המוכרות של פעולת החזקה.

כלומר נגדיר לכל [math]\displaystyle{ a,b\in\mathbb{R} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a\gt 0 }[/math] כי

[math]\displaystyle{ a^b = e^{b\ln (a)} }[/math]

כאשר [math]\displaystyle{ \ln }[/math] היא הפונקציה ההופכית לאקספוננט בממשיים. (כמובן שעלינו להוכיח כי פונקצית האקספוננט [math]\displaystyle{ e^x:\mathbb{R}\to (0,\infty) }[/math] הפיכה.)

שימו לב שחזקה טבעית של מספר מוגדרת באופן הרגיל כמכפלת המספר בעצמו מספר פעמים, אנחנו משתמשים בזה בטור ה"חזקות".

כפל אקספוננטים

אחת התכונות הבסיסיות והחשובות ביותר של האקספוננט היא שלכל [math]\displaystyle{ x,y\in\mathbb{C} }[/math] מתקיים כי

[math]\displaystyle{ e^x\cdot e^y = e^{x+y} }[/math]

כיוון שעדיין לא הגדרנו חזקות, בוודאי לא ניתן להשתמש בחוקי חזקות על מנת להוכיח תכונה זו.

עלינו להוכיח אותה ישירות על ידי ההגדרה של האקספוננט כטור חזקות.

הוכחה

ראשית נשים לב כי בנוסחא שאנחנו מוכיחים יש מכפלה של טורים

[math]\displaystyle{ e^x\cdot e^y =\left(\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\right)\cdot \left(\sum_{n=0}^\infty \frac{y^n}{n!}\right) }[/math]

כיצד ניתן להכפיל שני טורים?

באופן אינטואיטיבי, בהתאם לחוק הפילוג, אנחנו מצפים שהמכפלה תהיה סכום כל הדרכים לכפול איבר מהטור השמאלי, באיבר מהטור הימני.

אך באיזה סדר נסכום את מכפלות הזוגות?

אנחנו היינו רוצים לומר למשל כי

[math]\displaystyle{ (a_0+a_1+a_2+...)(b_0+b_1+b_2+...)=(a_0b_0)+(a_0b_1+a_1b_0)+(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)+... }[/math]

סידרנו כאן את הזוגות לפי סכום האינדקסים שלהם; קודם כל המכפלה בה סכום האינדקסים הוא אפס, לאחר מכן שתי המכפלות בהן סכום האינדקסים הוא אחד, ואז שלוש המכפלות בהן סכום האינדקסים הוא שתיים וכן הלאה.

בכתיב מדוייק אנחנו רוצים לטעון כי

[math]\displaystyle{ \left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right)\cdot\left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right) = \sum_{n=0}^\infty\left(\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}\right) }[/math]

מסתבר שאם שני הטורים [math]\displaystyle{ \sum a_n, \sum b_n }[/math] מתכנסים בהחלט זה באמת נכון. (אולי אוסיף הוכחה בהמשך?)

לכן, כיוון שטור האקספוננט מתכנס בהחלט בכל המרוכבים, לכל [math]\displaystyle{ x,y\in\mathbb{C} }[/math] מתקיים כי

[math]\displaystyle{ e^x\cdot e^y =\left(\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\right)\cdot \left(\sum_{n=0}^\infty \frac{y^n}{n!}\right) =\sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}\frac{y^{n-k}}{(n-k)!}\right) }[/math]

כעת הביטוי מזכיר לנו את מקדמי הבינום [math]\displaystyle{ {n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} }[/math].

נשתמש בשיטת WIN - Wouldn't it be nice ונכפול ונחלק ב [math]\displaystyle{ n! }[/math] ונקבל:

[math]\displaystyle{ e^x\cdot e^y =\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^n {n \choose k}x^k y^{n-k}\right) }[/math]

אבל זו בדיוק נוסחאת הבינום של ניוטון!

ולכן נקבל כי

[math]\displaystyle{ e^x\cdot e^y = \sum_{n=0}^\infty \frac{(x+y)^n}{n!} =e^{x+y} }[/math]

בדיוק כפי שרצינו.

קשר לפעולת החזקה

מהתכונה היסודית של כפל האקספוננטים ניתן להסיק לא מעט מתכונות החזקה המוכרות.

הופכי

לכל מספר [math]\displaystyle{ x }[/math] מתקיים כי

[math]\displaystyle{ e^x\cdot e^{-x}=e^{x-x}=e^0=1 }[/math]

לכן ההופכי של [math]\displaystyle{ e^x }[/math] הוא [math]\displaystyle{ e^{-x} }[/math]

או בשפת העם:

[math]\displaystyle{ e^{-x} = \frac{1}{e^x} }[/math]

(אגב שימו לב שנובע כי [math]\displaystyle{ e^x\neq 0 }[/math].)

חיוביות

לכל [math]\displaystyle{ 0\lt x\in\mathbb{R} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ e^x\gt 0 }[/math] כסכום של מספרים ממשיים חיוביים.

כיוון ש [math]\displaystyle{ e^{-x}=\frac{1}{e^x} }[/math] נובע כי גם [math]\displaystyle{ e^{-x}\gt 0 }[/math]

וכמובן ש[math]\displaystyle{ e^0=1\gt 0 }[/math]

בסה"כ, לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb{R} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ e^x\gt 0 }[/math]

חזקות טבעיות

לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb{N} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ n=1+1+...+1 }[/math] הוא סכום של n אחדות. לכן:

[math]\displaystyle{ e^n =e^{1+1+...+1}=e^1\cdot e^1 \cdots e^1=(e)^n }[/math]

כלומר פונקצית האקספוננט בn באמת שווה לe בחזקה הטבעית n.

חזקות רציונאליות

בעזרת חקירת פונקציות (מונוטונית וערך הביניים) ניתן להוכיח שלכל מספר ממשי חיובי [math]\displaystyle{ 0\lt a\in\mathbb{R} }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ 0\lt n\in\mathbb{N} }[/math] קיים פתרון יחיד למשוואה [math]\displaystyle{ x^n=a }[/math] ואנחנו מגדירים פתרון זה להיות [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{a} }[/math].

כעת, אני מעוניין להוכיח כי [math]\displaystyle{ e^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{e} }[/math]

אכן, אם נעלה מספר זה בחזקה הטבעית n נקבל כי

[math]\displaystyle{ \left(e^{\frac{1}{n}}\right)^n = e^{\frac{1}{n}}\cdot e^{\frac{1}{n}} \cdots e^{\frac{1}{n}}=e^{\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+...+\frac{1}{n}}=e^{n\cdot \frac{1}{n}}=e^1=e }[/math]

כיוון שיש פתרון יחיד למשוואה [math]\displaystyle{ x^n=e }[/math], אנחנו בטוחים שמצאנו את המספר הנכון.

באופן דומה ניתן להוכיח כי לכל [math]\displaystyle{ 0\lt n,k\in\mathbb{N} }[/math] מתקיים כי

[math]\displaystyle{ e^{\frac{n}{k}}=\sqrt[k]{e^n}=\left(\sqrt[k]{e}\right)^n }[/math]

הנגזרת

כיוון שפונקצית האקספוננט מוגדרת ע"י טור חזקות שמתכנס בכל המרוכבים, מותר לבצע גזירה איבר איבר

[math]\displaystyle{ \left(e^x\right)'=\left(\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\right)'=\sum_{n=1}^\infty n\cdot \frac{x^{n-1}}{n!} = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}=e^x }[/math]

כלומר הנגזרת של פונקצית האקספוננט היא פונקצית האקספוננט עצמה! (אני בשוק.)

כיוון שראינו שפונקצית האקספוננט חיובית בערכים ממשיים, נובע שהיא מונוטונית עולה (ולכן חח"ע) בממשיים.

כיוון שהיא רציפה בממשיים (טור חזקות) והגבולות שלה באינסוף ומינוס אינסוף הם אינסוף ואפס בהתאמה (קל לחשב) ניתן לומר כי האקספוננט הפיכה מקבוצת הממשיים אל קבוצת הממשיים החיוביים.

נגדיר את פונקצית הלוגריתם [math]\displaystyle{ \ln:(0,\infty)\to\mathbb{R} }[/math] להיות ההופכית שלה.

זהות אוילר

בסרטון הבא ניתן לראות הוכחה לזהות אוילר [math]\displaystyle{ e^{ix}=cis(x) }[/math] המתבססת על ההגדרה שהצגנו כאן