חומרי עזר

מבחנים ובחנים עם פתרונות

סרטונים ותקצירי הרצאות

פרק 1 - מכפלה פנימית ונורמה

מכפלה סקלרית

[math]\displaystyle{ v\cdot w = |v||u|\cos(\theta) }[/math]

מכפלה פנימית

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{R} }[/math] או [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{C} }[/math]

מכפלה פנימית היא מכפלה [math]\displaystyle{ \langle \cdot, \cdot\rangle:V\times V\to \mathbb{F} }[/math] המקיימת את ארבע התכונות הבאות:

לכל [math]\displaystyle{ x,y\in V }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ c\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי:

אדטיביות [math]\displaystyle{ \langle x+y,z\rangle = \langle x,z\rangle + \langle y,z\rangle }[/math]
כפל בסקלר [math]\displaystyle{ \langle cx,y\rangle = c\langle x,y\rangle }[/math]
הרמיטיות [math]\displaystyle{ \langle y,x\rangle = \overline{\langle x,y\rangle} }[/math]
אי שליליות [math]\displaystyle{ \langle x,x\rangle \geq 0 }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \langle x,x\rangle =0 }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ x=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \langle av_1 +bv_2 ,cw_1+dw_2\rangle = a\overline{c}\langle v_1,w_1\rangle + a\overline{d}\langle v_1,w_2\rangle+ b\overline{c}\langle v_2,w_1\rangle+b\overline{d}\langle v_2,w_2\rangle }[/math]

נורמה ונורמה מושרית

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{R} }[/math] או [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{C} }[/math]

נורמה היא פונקציה [math]\displaystyle{ ||\cdot||:V\to\mathbb{R} }[/math] המקיימת את שלושת התכונות הבאות.

לכל [math]\displaystyle{ x,y\in V }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ c\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי:

אי שליליות [math]\displaystyle{ ||x|\geq 0 }[/math] וכן [math]\displaystyle{ ||x||=0 }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ x=0 }[/math]
כפל בסקלר [math]\displaystyle{ ||cx|| = |c|\cdot ||x|| }[/math]
אי שיוויון המשולש [math]\displaystyle{ ||x+y||\leq ||x||+||y|| }[/math]

נורמה מושרית

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב מכפלה פנימית מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{R} }[/math] או [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{C} }[/math].

הנורמה המושרית מהמכפלה הפנימית היא הפונקציה [math]\displaystyle{ ||\cdot||:V\to\mathbb{R} }[/math] המוגדרת ע"י הנוסחא:

[math]\displaystyle{ ||v||=\sqrt{\langle v,v\rangle} }[/math]

שימו לב: הפונקציה מוגדרת היטב -

מתכונת האי-שליליות של המכפלה הפנימית ידוע כי [math]\displaystyle{ 0\leq \langle v,v\rangle\in\mathbb{R} }[/math] ולכן מותר להוציא שורש.

הנורמה המושרית היא אכן נורמה

נוכיח כי הנורמה המושרית היא אכן נורמה.

תכונת האי-שליליות של הנורמה מתקבלת בחינם, כי [math]\displaystyle{ ||v||=\sqrt{\langle v,v\rangle} \geq 0 }[/math] ממש לפי הגדרת פונקצית השורש.

כעת, יהי סקלר [math]\displaystyle{ c\in\mathbb{C} }[/math] אזי

[math]\displaystyle{ ||cv||=\sqrt{\langle cv,cv\rangle}=\sqrt{c\overline{c}\langle v,v\rangle}=\sqrt{|c|^2\langle v,v\rangle}=|c|\cdot \langle v,v\rangle=|c|\cdot ||v|| }[/math]

לבסוף, עלינו להוכיח את אי שיוויון המשולש, אך זה ידרוש קצת הכנה מקדימה.

מכפלה פנימית מושרית

האם כל נורמה היא נורמה מושרית?

האם ייתכן שנורמה תהיה הנורמה המושרית של שתי מכפלות פנימיות שונות?

לתשובות ולהוכחות קראו את הערך מכפלה פנימית מושרית.

פרק 2 - המרחב הניצב

משפט הפירוק הניצב
בא"נ והיטלים
אי שיוויון בסל
משפט פיתגורס
גרם שמידט

אלגברה לינארית 2 - ארז שיינר