גבול פונקציה

חזרה לפונקציות

כאשר למדנו גבולות של סדרות, היה רק כיוון אחד להתקדמות הסדרה- האינדקס שאף לאינסוף דרך הטבעיים. כאשר מדובר על פונקציה, x יכול לשאוף לכל מספר ממשי וגם לפלוס ומינוס אינסוף. בנוסף הוא עשוי לשאוף אליהם דרך מספרים רציונאליים, אי רציונאליים או גם וגם. עלינו להתאים את הגדרת הגבול של פונקציה בהתאם.

גבול פונקציה לפי קושי

הגדרה. L נקרא הגבול של f בנקודה a אם f מוגדרת בסביבה מנוקבת של a וגם לכל [math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math] כך שלכל x המקיים [math]\displaystyle{ 0\lt |x-a|\lt \delta }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |f(x)-L|\lt \epsilon }[/math]

(הערה: סביבה מנוקבת של a הינה סביבה של a שמוציאים ממנה את a.)

הסבר ההגדרה: לכל מרחק על ציר y שנבחר (אפסילון) יש מרחק על ציר x (דלתא) כך שאם הנקודות על ציר x קרובות מספיק ל-a אזי הפונקציה עליהן קרובה מספיק ל-L.

תרגיל.

הוכח לפי ההגדרה כי [math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}=8 }[/math]

פתרון. יהי אפסילון גדול מאפס. צריך להוכיח כי קיים דלתא גדול מאפס, כך שאם [math]\displaystyle{ 0\lt |x-2|\lt \delta }[/math] אזי מתקיים [math]\displaystyle{ \Big|\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\Big|\lt \epsilon }[/math]

נפתח את הביטוי:

[math]\displaystyle{ \Big|\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\Big|=\Big|\frac{x^2+6x+8-8x-8}{x+1}\Big|=\Big|\frac{x^2-2x}{x+1}\Big|=\Big|\frac{x(x-2)}{x+1}\Big| }[/math]

אנו רואים כי כאשר x שואף ל-2 המונה שואף לאפס, והמכנה ל-3. נרצה, אם כך, לחסום את המכנה מלמטה על ידי קבוע גדול מאפס, כך נוכל להקטין את המכנה, ולהגדיל את הביטוי.

כאשר [math]\displaystyle{ \delta\lt 1 }[/math], עבור [math]\displaystyle{ 0\lt |x-2|\lt \delta\lt 1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 2\lt x+1 }[/math] ולכן:

[math]\displaystyle{ \Big|\frac{x(x-2)}{x+1}\Big|\lt \frac{|x(x-2)|}{2} }[/math]

כמו כן, מתקיים [math]\displaystyle{ x\lt 3 }[/math] ולכן:

[math]\displaystyle{ \Big|\frac{x(x-2)}{x+1}\Big|\lt \frac{3|x-2|}{2}\lt \frac{3}{2}\delta }[/math]

לסיכום, קיים דלתא כך ש [math]\displaystyle{ \delta\lt 1 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \delta\lt \frac{2}{3}\epsilon }[/math] עבורו מתקיים:

[math]\displaystyle{ \Big|\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\Big|\lt \frac{3}{2}\delta=\epsilon }[/math]

גבול פונקציה לפי היינה

בהגדרת קושי לגבול פונקציה הכללנו את הרעיון של גבול של סדרה, אך לא השתמשנו בו. בהגדרת הגבול לפי היינה נסתמך על הגדרת הגבול של סדרה.

הגדרה. L נקרא הגבול של f בנקודה a אם f מוגדרת בסביבה מנוקבת של a וגם לכל סדרה [math]\displaystyle{ x_n }[/math] המקיימת את שני התנאים הבאים:

• [math]\displaystyle{ \forall n:x_n\neq a }[/math]
• [math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}x_n=a }[/math] (כאשר זהו גבול של סדרות)

מתקיים כי הסדרה [math]\displaystyle{ f(x_n) }[/math] שואפת ל-L (שוב, גבול של סדרות).

תרגיל.

הוכח כי [math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow x_0}ax^k=ax_0^k }[/math]

פתרון. לכל סדרה [math]\displaystyle{ x_0\neq x_n\rightarrow x_0 }[/math] מתקיים לפי אריתמטיקת גבולות של סדרות כי

[math]\displaystyle{ ax^k=a\cdot x \cdots x\rightarrow a\cdot x_0 \cdots x_0 = ax_o^k }[/math]

מסקנה. קל להראות כי לכל פולינום p מתקיים [math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow x_0}p(x)=p(x_0) }[/math]

תרגיל.

הוכח כי לא קיים הגבול [math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 0}sin(e^{\frac{1}{x}}) }[/math]

הוכחה. נראה כי קיימות סדרות

[math]\displaystyle{ 0\neq x_k,y_k\rightarrow 0 }[/math]

כך ש

[math]\displaystyle{ \lim f(x_k)\neq \lim f(y_k) }[/math]

נזכר בעובדה שלכל מספר שלם k מתקיים:

[math]\displaystyle{ sin\Big(\frac{\pi}{2}+2\pi k\Big)=1 }[/math]

[math]\displaystyle{ sin\Big(\frac{3\pi}{2}+2\pi k\Big)=-1 }[/math]

נרצה סדרה המקיימת

[math]\displaystyle{ e^{\frac{1}{x_k}}=\frac{\pi}{2}+2\pi k }[/math]

ולכן ניקח

[math]\displaystyle{ x_k=\frac{1}{ln\Big(\frac{\pi}{2}+2\pi k\Big)} }[/math]

באופן דומה ניקח

[math]\displaystyle{ y_k=\frac{1}{ln\Big(\frac{3\pi}{2}+2\pi k\Big)} }[/math]

ואז נקבל

[math]\displaystyle{ \lim f(x_k)=1\neq -1 =\lim f(y_k) }[/math]