Mathwiki:ארגז חול

חלק א'

שאלה 1

סעיף א'

הוכיחו כי [math]\displaystyle{ \overline{\cup A_i}=\cap \overline{A_i} }[/math]

סעיף ב'

הוכיחו/הפריכו: [math]\displaystyle{ (A/B)\subseteq C \iff A\subseteq C \vee B=A\cap C }[/math]

שאלה 2

סעיף א'

הוכיחו כי [math]\displaystyle{ A\subseteq B \iff P(A)\subseteq P(B) }[/math]

סעיף ב'

הוכיחו את תקפות הטיעון הבא:

[math]\displaystyle{ (\forall x:P(x)\rightarrow \neg Q(x))\wedge (\exist x:R(x)\vee P(x))\wedge (\forall x:Q(x)\vee R(x)) \Rightarrow \exist x:R(x) }[/math]

שאלה 3

יהי R יחס על [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] המוגדר ע"י

[math]\displaystyle{ \forall a,b\in\mathbb{N}:aRb\leftrightarrow \exist n,k\in\mathbb{N}:a^n=b^k }[/math]

סעיף א'

הוכיחו כי R יחס שקילות

סעיף ב'

מצאו את [math]\displaystyle{ [1]_R,[2]_R,[6]_R }[/math]

חלק ב'

שאלה 4

השלימו מספיק/הכרחי/הכרחי ומספיק/לא מספיק ולא הכרחי

• על מנת שיתקיים [math]\displaystyle{ (A,R) }[/math] קס"ה _________ שיתקיים [math]\displaystyle{ (A,R) }[/math] קס"מ או קמ"מ
• תהי [math]\displaystyle{ (A,R) }[/math] קס"ח. על מנת שיתקיים [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] קטן ביותר __________ שיתקיים ש[math]\displaystyle{ a }[/math] מינימלי יחיד בA
• על מנת שיתקיים [math]\displaystyle{ P(A)\cup P(B) = P(A\cup B) }[/math] _____________ שיתקיים [math]\displaystyle{ A\subseteq B }[/math] או [math]\displaystyle{ B\subseteq A }[/math]
• על מנת שיתקיים [math]\displaystyle{ R\circ R = R }[/math] ______________ שיתקיים שR טרנזיטיבי

שאלה 5

סעיף א'

תהי [math]\displaystyle{ A_n=\Big(1+\frac{(-1)^n}{2n},2+n\Big] }[/math]

• מצאו את [math]\displaystyle{ \cap A_n }[/math]
• מצאו את [math]\displaystyle{ \cup A_n }[/math]

סעיף ב'

מצאו נוסח שקול (לוגית) לפסוק הבא, ללא שימוש בקשר השלילה:

[math]\displaystyle{ \neg\Big(\forall x\exist y\forall z:(xy\lt 0)\rightarrow(x=z \vee y=z)\Big) }[/math]