האינטגרל הלא מסויים
הגדרה: אינטגרל מסויים הוא אינטגרל עם גבולות שלמדנו עד עכשיו - גבול של סכומי רימן וסכומי דרבו. אם f רציפה ניתן, לפעמים, לחשב את האינטגרל לפי נוסחת ניוטון-לייבניץ. השלב העיקרי בחישוב זה הוא מציאת הפונקציה הקדומה, ולכן הגדירו אינטגרל לא מסויים - ללא גבולות -
, שפתרונו פשוט
עבור F פונקציה קדומה ל-f וקבוע c.
אינטגרלים פשוטים
בדיקות
- נבדוק
(עבור
): לפי ההגדרה
. לכן עבור
מתקיים
ועבור
,
.
-
.
-
.
דוגמאות חישוב
-
-
- (מהפיכת כלל השרשרת)
-
- (למעשה, האינטגרל הזה לא אלמנטרי)
-
-
- (הפונקציה אלמנטרית אבל האינטגרל לא ידוע לנו. המסר הוא שהאינטגרציה קשה)
-
כלל פשוט: האינטגרל לינארי, כלומר .
אינטגרציה בחלקים
כזכור, אם f ו-g פונקציות גזירות אז . אם f' ו-g' רציפות נוכל להפוך את זה לנוסחת אינטגרציה:
.
דוגמאות חישוב
-
. אם ננסה לפתור אינטגרל זה בדרך הפוכה נקבל
, ואינטגרל זה יותר קשה מהאינטגרל המקורי.
-
. נעשה שוב אינטגרציה בחלקים:
ובסה"כ
.
-
.
-
.
-
ולכן
.
שיטת ההצבה/שינוי משתנים
נתחיל עם כלל השרשרת: . לכן אם F קדומה ל-f אז
ולפיכך
.
דרך פורמלית וכללית לפתרון: נתון . ע"י הגדרה
נקבל
. נעביר אגף:
, נחזור לאינטגרל ונקבל
.
דוגמאות חישוב
בכל אחת מהדוגמאות הבאות נסמן את האינטגרל שיש לחשב כ-:
-
: נציב
ולכן
ולפיכך
.
-
: נציב
ואז
ונובע ש-
.
-
: נציב
ולכן
.
-
: עבור
נקבל
.
-
.
: נציב
ונקבל
.
לכן ניתן להוכיח שוב את סעיף 4:.
-
: נציב
ונקבל
.
-
: נציב
ואז
. מכאן ש-
.
-
: נציב
ומכאן ש-
. לבסוף, ולכן
.
דרך אחרת:. נגדיר
ושוב נקבל
-
: נציב
ולכן
.
-
: נבחר
כדי לקבל
.
שיטה אחרת:ואז
.
שיטה אחרונה:.
קיבלנו 3 תשובות שונות באותו תרגיל, אך אין סתירה כי ההפרש בין כל שתי תשובות הוא גודל קבוע. למשל:.