חזרה ל מערכי תרגול.
הגדרה
כדי להבין פנקציות מהצורה צריך להבין מה עושה פונקציה . פנקציה כזו מקבלת שני ממשיים ומוציאה ממשי אחד.
לדוג': ועוד כהנה וכהנה.
במרוכבים זה יופיע כשתי פונקציות כאלה. למשל, נניח שיש לנו את הפונקציה , זה בעצם חיבור של שתי הפונקציות הבאות: ואז נקבל: .
רציפות
הגדרת רציפות של פונקציה מרוכבת: הפונקציה רציפה ב אם לכל סדרה מתקיים: . פונקציה נקראת רציפה אם היא רציפה בכל נקודה.
משפטים
כרגיל, לא תמיד משתמשים בהגדרה, אלא במשפטים. המשפטים הרגילים: חיבור, כפל, הרכבה וחילוק כשמותר של רציפות זו פונקציה רציפה. לכן כל הפולינומים רציפים, וכנ"ל מנת פולינומים (מה שנקרא פונקציה רציונאלית) כשהמכנה לא 0.
משפט חשוב: רציפה אם ורק אם רציפות.
לכן, חשוב להבין רציפות של פונקציות בשתי משתנים.
רציפות של פונקציות בשני משתנים
פונקציה רציפה בנק' אם לכל זוג סדרות מתקיים: . כדי להראות שהפונקציה לא רציפה מספיק למצוא זוג אחד של סדרות שלא מקיימות את התנאי.
תרגיל
האם הפונקציה הבאה רציפה בראשית הצירים:
אם לא, האם ניתן להגדיר אחרת ב כדי שכן תהיה רציפה שם?
פתרון
לא ולא! על מנת להראות שהפונקציה לא רציפה מספיק למצוא זוג אחד של סדרות עבורן לא מתקיים: . וזה מה שנעשה כאן:
אם נקבע את סדרת האיקסים להיות תמיד אפס, כלומר, , וניקח למשל , אז נקבל סדרת אפסים (כי המונה תמיד אפס), ולכן הגבול גם הוא אפס (הסדרה היא ). כיון שהגבול שונה מערך הפונקציה ב נובע שהפונקציה לא רציפה.
הערה חשובה: לא ניתן "לתקן" ע"י לקבוע כי אם ניקח את הסדרות נקבל לפי הידוע משנה שעברה, וכיון שיש שני גבולות שונים נובע שאין דרך "לתקן".
תרגיל
האם הפונקציה הבאה רציפה בראשית הצירים:
פתרון
אכן כן. נלך לפי הגדרה: צריך להראות שלכל שתי סדרות מתקיים: . נראה זאת:
. עכשיו נשתמש ברמז שכתוב: תמיד מתקיים , ולכן אצלנו נקבל ונוכל להמשיך:
רציפות של פונקציות מרוכבות
תרגיל
האם הפונקציות הבאות רציפות בנקודות הנדרשות:
1. בכל .
2. ב.
פתרון
1. כן, פונקציה רציונאלית רציפה כאשר המכנה לא מתאפס.
2. לא! נקבל:
.
כעת, "קל לראות" שהפונקציה שתמונתה החלק המדומה לא רציפה. ניקח סדרות .
גזירות
נאמר שפונקציה גזירה בנקד' אם לכל סדרה קיים הגבול , ואז ערך הנגזרת זה הגבול הנ"ל.
פונקציה היא גזירה אם היא גזירה בכל נקודה.
תרגיל
האם הפונקציה רציפה באפס?
פתרון
לא! לוקחים סדרה ממשית וסדרה מדומה טהורה.
תרגיל
האם הפונקציה גזירה?
פתרון
כן. לפי הגדרה, מקבלים בדיוק כמו בממשיים!
משפטים
סכום ומכפלה של גזירות גזירה. כלל השרשת גם מתקיים!