אנליזה מתקדמת למורים תרגול 4
חזרה ל מערכי תרגול.
תוכן עניינים
פונקציות
ראיתם כמה דוגמאות לפונקציות , כמו למשל
וכדו'.
הרבה פעמים, כדי להבין פנקציות מהצורה צריך להבין מה עושה פונקציה
. פנקציה כזו מקבלת שני ממשיים ומוציאה ממשי אחד.
לדוג': ועוד כהנה וכהנה.
במרוכבים זה יופיע כשתי פונקציות כאלה. למשל, נניח שיש לנו את הפונקציה , זה בעצם חיבור של שתי הפונקציות הבאות:
ואז נקבל:
.
רציפות
הגדרת רציפות של פונקציה מרוכבת: הפונקציה רציפה ב
אם לכל סדרה
מתקיים:
. פונקציה נקראת רציפה אם היא רציפה בכל נקודה.
תרגיל
הוכיחו שהפונקציה היא רציפה.
פתרון
לפי הגדרה: תהי , צריך להראות ש-
. ואכן:
, כאשר השאיפה בסוף נובעת מהנתון על הסדרה.
משפטים
כרגיל, לא תמיד משתמשים בהגדרה, אלא במשפטים. המשפטים הרגילים: חיבור, כפל, הרכבה וחילוק כשמותר (כלומר, כשהמכנה לא אפס) של פונקציות רציפות זו פונקציה רציפה. לכן כל הפולינומים רציפים, וכנ"ל מנת פולינומים (מה שנקרא פונקציה רציונאלית) כשהמכנה לא 0.
משפט חשוב: רציפה אם ורק אם
רציפות.
רציפות של פונקציות בשני משתנים
פונקציה רציפה בנק'
אם לכל זוג סדרות
מתקיים:
. כדי להראות שהפונקציה לא רציפה מספיק למצוא זוג אחד של סדרות שלא מקיימות את התנאי.
תרגיל
האם הפונקציות הבאות רציפות:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
תרגיל
הוכיחו שהפונקציה הבאה לא רציפה: