המבחן של פרופ' זלצמן

שאלה 1

תהי סדרה a_n, ותהי E קבוצות הגבולות החלקיים שלה. הוכח/הפרך: E סגורה

הוכחה

על מנת להוכיח שE סגורה, יש להוכיח שהיא מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה. כלומר, אם r היא נקודת הצטברות של E אזי היא גם גבול חלקי של E.

נניח r נקודת הצטברות של E, לכן לכל אפסילון גדול מאפס קיים גבול חלקי הקרוב לr עד כדי אפסילון, ולכל גבול חלקי כזה קיימת תת סדרה המתכנסת אליו.

לכן, עבור [math]\displaystyle{ \frac{1}{n} }[/math] קיימת תת סדרה המתכנסת למספר הקרוב לr עד כדי [math]\displaystyle{ \frac{1}{n} }[/math]. לכן קיים בסדרה הזו מקום אשר החל ממנו והלאה כל האיברים קרובים לr עד כדי [math]\displaystyle{ 2/n }[/math] (המרחק בין גבול תת הסדרה לבין r ועוד מרחק בין איברי תת הסדרה לגבול תת הסדרה). נבחר איברים כאלה מתתי הסדרות, ובלבד שכל איבר יהיה אחרי האיבר הקודם. כך בנינו סדרה שאיבריה קרובים מרחק [math]\displaystyle{ 2/n }[/math] מr ולכן היא וודאי מתכנסת לr כפי שרצינו.

שאלה 2

בדוק התכנסות של הטורים הבאים:

א

[math]\displaystyle{ \sum (-1)^n\tan{\frac{1}{n}} }[/math]

נבדוק התכנסות בהחלט, נוכיח שהטור חבר של הטור ההרמוני:

[math]\displaystyle{ \lim\frac{\tan\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=\lim\frac{\sin{\frac{1}{n}}}{\frac{1}{n}\cos\frac{1}{n}}=1 }[/math]

ולכן הוא אינו מתכנס בהחלט.

קל לראות שtan מונוטונית באיזור אפס (נגזרתה חיובית בלבד), וכמו כן [math]\displaystyle{ tan(0)=0 }[/math] והיא רציפה שם ולכן סה"כ יש לנו סדרה המתכנסת מונוטונית לאפס ולפי משפט לייבניץ הטור כולו מתכנס בתנאי.

ב

[math]\displaystyle{ \sum (-1)^ne^{\frac{1}{logn}} }[/math]

קל לראות ש [math]\displaystyle{ e^{\frac{1}{logn}}\rightarrow 1 }[/math] ולכן הטור מתבדר.

ג

[math]\displaystyle{ \sum (-1)^n{\frac{cos(logn)}{n(logn)^3}} }[/math]

בערך מוחלט זה קטן מ[math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{n(logn)^3} }[/math]. זו סדרה מונוטונית יורדת ולכן ניתן להפעיל את מבחן העיבוי לקבל את הטור [math]\displaystyle{ \sum\frac{2^n}{2^n(log(2^n))^3}=\sum\frac{1}{n^3(log2)^3} }[/math] שהוא כמובן מתכנס, ולכן כל הטור מתכנס בהחלט.

שאלה 3

ציטוט משפטים - תשובות במחברת ההרצאה

שאלה 4

זהה וסווג נקודות אי רציפות:

א

[math]\displaystyle{ (x^2-1)sin(\frac{1}{x^3-x^2}) }[/math]

נקודות אי הרציפות הן כאשר המכנה מתאפס, כלומר 0 ו1. באפס מימין, [math]\displaystyle{ \frac{1}{x^3-x^2}\rightarrow -\infty }[/math]. מכיוון שזו פונקציה רציפה ששואפת לאינסוף, הסינוס מקבל עליה אינסוף מחזורים ולכן אין לו גבול. [math]\displaystyle{ x^2-1\rightarrow -1 }[/math] ולכן סה"כ יש לנו פונקציה עם גבול סופי שונה מאפס גבול פונקציה ללא גבול ולכן לא קיים הגבול החד צדדי ולכן נקודת האי רציפות אפס הינה ממין שני.

בנקודה 1 אנחנו מקבלים פונקציה ששואפת לאפס כפול חסומה ולכן סה"כ יש שאיפה לאפס וזו נקודת אי רציפות סליקה.

ב

[math]\displaystyle{ f(x)=[|x|] }[/math]

נניח ש[x] הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה לאיקס. אזי עבור [math]\displaystyle{ |x|\lt 1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)=0 }[/math] ולכן שם הפונקציה רציפה. עבור [math]\displaystyle{ 1\lt |x|\lt 2 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)=1 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ x=\pm 1 }[/math] הינן נקודות אי רציפות ממין ראשון (הגבול הוא אחד מצד אחד ואפס מהצד השני). באופן דומה לכל n טבעי מתקיים ש[math]\displaystyle{ \pm n }[/math] הן נקודות אי רציפות ממין ראשון.

ג

[math]\displaystyle{ tan(\frac{1}{log(x^2)}) }[/math]

באפס הלוג הולך למינוס אינסוף ולכן [math]\displaystyle{ \frac{1}{log(x^2)}\rightarrow 0 }[/math] ולכן הגבול כולו הוא אפס וזו נקודת אי רציפות סליקה.

בפלוס ומינוס אחד הלוג הולך לאפס. ולכן מצד אחד אחד חלקי הלוג שואף לאינסוף באופן רציף, ולכן הtan עושה אינסוף מחזורים ולכן לא קיים הגבול החד צדדי ולכן אלה נקודות אי רציפות ממין שני.

במקומות בהם [math]\displaystyle{ \frac{1}{log(x^2)}=\frac{\pi}{2}+\pi k }[/math] הtan לא מוגדר ושואף לאינסוף ולכן אלו נקודות אי רציפות ממין שני. נקודות אלה הן מהצורה [math]\displaystyle{ \sqrt{e^{\frac{1}{\frac{\pi}{2}+\pi k}}} }[/math]

שאלה 5

האם הפונקציות הבאות רציפות במ"ש בקטעים הנתונים

א

[math]\displaystyle{ e^{-|tg(x)|} }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ (-\pi/2,\pi/2) }[/math]

הפונקציה רציפה בכל הקטע ובקצות הקטע [math]\displaystyle{ |tg(x)|\rightarrow\infty }[/math] ולכן סה"כ הגבולות הם אפס כלומר סופיים ולכן הפונקציה רציפה במ"ש.

ב

[math]\displaystyle{ log(2+cos(x)) }[/math] בכל הממשיים.

[math]\displaystyle{ 2+cos(x) }[/math] רציפה במ"ש בכל הממשיים, ומקבלת ערכים בקטע [math]\displaystyle{ [1,3] }[/math]. בקטע הזו לוג רציפה במ"ש ולכן סה"כ יש לנו הרכבה של רציפות במ"ש ולכן הפונקציה רציפה במ"ש.

ג

[math]\displaystyle{ cos(logx) }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math]

ניקח שתי סדרות ששואפות לאפס, אבל הפונקציה עליהן תהיה קבועה. על האחת אחד ועל השנייה מינוס אחד, וזה יסתור רציפות במ"ש. [math]\displaystyle{ y_n=e^{-2\pi n-\pi} }[/math], [math]\displaystyle{ x_n=e^{-2\pi n} }[/math]

שאלה 6

נגזרות

שאלה 7

תהי f גזירה בקטע [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] ותהי נקודה [math]\displaystyle{ x_0\in (a,b) }[/math]

א

הוכח שאם קיים הגבול [math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow x_0}f'(x)=L }[/math] אזי מתקיים [math]\displaystyle{ f'(x_0)=L }[/math]

לפי הגדרה [math]\displaystyle{ f'(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} }[/math]. ברור ש[math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow x_0}(x-x_0)=0 }[/math] ומכיוון שf רציפה אזי גם [math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow x_0}(f(x)-f(x_0))=0 }[/math]. לכן אם יש גבול לנגזרת של המונה חלקי הנגזרת של המכנה אז הוא שווה לגבול המקורי לפי לופיטל.

נגזור את המונה והמכנה לקבל [math]\displaystyle{ \frac{f'(x)}{1}\rightarrow L }[/math] ולכן קיבלנו את מה שרצינו.

ב

מצא פונקציה כנ"ל כך שלא קיים הגבול [math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow x_0}f'(x) }[/math]

כפי שראינו בכיתה, נשתמש בפונקציה [math]\displaystyle{ f(x)=x^2sin(1/x) }[/math], כאשר אנחנו מגדירים [math]\displaystyle{ f(0)=0 }[/math]. ברור שהיא גזירה בכל מקום פרט לאפס, נוכיח שהיא גם גזירה באפס. [math]\displaystyle{ f'(0)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0}xsin(1/x)=0 }[/math].

לכן ערך הנגזרת באפס הוא אפס. מהו גבול הנגזרת ב[math]\displaystyle{ x_0=0 }[/math]?

הנגזרת בנקודות השונות מאפס שווה ל[math]\displaystyle{ 2xsin(1/x)-cos(1/x) }[/math]. לכן הגבול שלה באפס לא קיים (אפס ועוד משהו לא קיים) כפי שרצינו.

שאלה 8

תהי פונקציה גזירה ורציפה במ"ש ב[math]\displaystyle{ (-1,1) }[/math], הוכח/הפרך: [math]\displaystyle{ f' }[/math] חסומה על כל תת קטע סגור של [math]\displaystyle{ (-1,1) }[/math]

הפרכה

למעשה אנו חייבים נגזרת שאינה רציפה כמו בשאלה 7 סעיף ב', אחרת פונקציה רציפה על קטע סגור חסומה בו. נביט בפונקציה [math]\displaystyle{ f(x)=x^2sin(\frac{1}{x^2}) }[/math]. היא גזירה כמו שראינו בשאלה קודמת. הנגזרת הינה [math]\displaystyle{ 2xsin(\frac{1}{x^2})-2\frac{1}{x}cos(\frac{1}{x^2}) }[/math]. נביט בסדרה השואפת לאפס [math]\displaystyle{ x_n=\frac{1}{\sqrt{2\pi n}} }[/math] עליה מקבלים [math]\displaystyle{ f'(x_n)=-2\sqrt{2\pi n}\rightarrow\infty }[/math] ולכן הנגזרת אינה חסומה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [-0.5,0.5] }[/math].