משפט פרמה (אינפי)

הגדרת נקודת קיצון מקומית

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] מוגדרת בסביבת הנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] כך שלכל x בסביבה מתקיים:

[math]\displaystyle{ \forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\leq f(x_0) }[/math] (נקודת מקסימום מקומי)

או

[math]\displaystyle{ \forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\geq f(x_0) }[/math] (נקודת מינימום מקומי)

אזי [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] הינה נקודת קיצון מקומית של [math]\displaystyle{ f }[/math].

משפט פרמה

תהי [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקודת קיצון מקומית של פונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math]. אזי אם [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה ב[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] מתקיים:

[math]\displaystyle{ f'(x_0)=0 }[/math]

הוכחה

נניח כי f גזירה בנקודת מקסימום מקומי [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] (ההוכחה עבור מינימום דומה) . אזי לפי הגדרת הנגזרת הגבול הבא קיים:

[math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=L }[/math]

לפי משפט, כיוון שהגבול קיים, הגבולות החד צדדיים ושווים.

לפי הנתון, קיימת סביבה ימנית של [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] בה מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)-f(x_0)\leq 0 }[/math], וכיוון שזו סביבה ימנית מתקיים בה גם [math]\displaystyle{ x-x_0\gt 0 }[/math].

לכן ביחד, מתקיים כי

[math]\displaystyle{ L=\lim_{x\rightarrow x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\leq 0 }[/math]

באופן דומה, קיימת סביבה שמאלית של [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] בה מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)-f(x_0)\leq 0 }[/math], וכיוון שזו סביבה שמאלית מתקיים בה גם [math]\displaystyle{ x-x_0\lt 0 }[/math].

לכן ביחד, מתקיים כי

[math]\displaystyle{ L=\lim_{x\rightarrow x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq 0 }[/math]

סה"כ [math]\displaystyle{ L=0 }[/math] כפי שרצינו.

משפט רול

תהי f רציפה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] וגזירה בקטע [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f(a)=f(b) }[/math].

אזי קיימת נקודה [math]\displaystyle{ c\in (a,b) }[/math] עבורה מתקיים [math]\displaystyle{ f'(c)=0 }[/math]

הוכחה

נוכיח כי קיימת נקודת קיצון מקומית [math]\displaystyle{ c\in (a,b) }[/math] ולכן המשל נובע ממשפט פרמה.

לפי משפט ויישטראס השני, כיוון שהפונקציה רציפה בקטע סגור היא מקבלת בו מינימום ומקסימום. נניח בשלילה שגם המינימום וגם המקסימום מתקבלים בקצות הקטע a,b. על כן, כיוון ש[math]\displaystyle{ f(a)=f(b) }[/math] אנו מקבלים כי המקסימום והמינימום שווים ולכן הפונקציה קבועה בקטע. לכן כל נקודה בקטע היא נקודת קיצון מקומית, וקיבלנו את התוצאה הדרושה.

אחרת, המינימום או המקסימום מתקבלים בקטע הפתוח [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] ולכן הן נקודות קיצון מקומיות, ושוב קיבלנו את התוצאה הדרושה.

משפט לגראנז'

תהי f רציפה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] וגזירה בקטע [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math].

אזי קיימת נקודה [math]\displaystyle{ c\in (a,b) }[/math] עבורה מתקיים [math]\displaystyle{ f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} }[/math]

הוכחה

נחשב את משוואת הישר העובר בין הנקודות [math]\displaystyle{ (a,f(a)),(b,f(b)) }[/math]:

[math]\displaystyle{ y-f(a)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) }[/math]

נחסיר את משוואת הישר הזה מהפונקציה המקורית, ונוכל להפעיל את משפט רול על מנת לקבל את התוצאה הרצוייה.

[math]\displaystyle{ g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)-f(a) }[/math]

קל לראות כי [math]\displaystyle{ g(a)=g(b)=0 }[/math] ו-g מקיימת את שאר תנאיי משפט רול. לכן קיימת נקודה [math]\displaystyle{ c\in (a,b) }[/math] עבורה מתקיים [math]\displaystyle{ g'(c)=0 }[/math]. אבל:

[math]\displaystyle{ 0=g'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} }[/math]

כלומר

[math]\displaystyle{ f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} }[/math]

כפי שרצינו.