משפט פרמה (אינפי)
מתוך Math-Wiki
תוכן עניינים
הגדרת נקודת קיצון מקומית
תהי מוגדרת בסביבת הנקודה
כך שלכל x בסביבה מתקיים:
(נקודת מקסימום מקומי)
או
(נקודת מינימום מקומי)
אזי הינה נקודת קיצון מקומית של
.
משפט פרמה
תהי נקודת קיצון מקומית של פונקציה
. אזי אם
גזירה ב
מתקיים:
הוכחה
נניח כי f גזירה בנקודת מקסימום מקומי (ההוכחה עבור מינימום דומה) . אזי לפי הגדרת הנגזרת הגבול הבא קיים:
לפי משפט, כיוון שהגבול קיים, הגבולות החד צדדיים ושווים.
לפי הנתון, קיימת סביבה ימנית של בה מתקיים
, וכיוון שזו סביבה ימנית מתקיים בה גם
.
לכן ביחד, מתקיים כי
באופן דומה, קיימת סביבה שמאלית של בה מתקיים
, וכיוון שזו סביבה שמאלית מתקיים בה גם
.
לכן ביחד, מתקיים כי
סה"כ כפי שרצינו.