מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1/פתרון 1

1

[math]\displaystyle{ x^2+2x+1\leq 0 }[/math]

נבדוק מתי הביטוי באגף שמאל מתאפס: [math]\displaystyle{ x^2+2x+1 = 0 }[/math].

לפי נוסחה נקבל פתרון יחיד [math]\displaystyle{ x=-1 }[/math].

המקדם של [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] חיובי (1) לכן הביטוי מתאפס ב[math]\displaystyle{ -1 }[/math] וחיובי מימינו ומשמאלו (ולכן אינו שלילי לאף x).

פתרון: [math]\displaystyle{ x=-1 }[/math]

[math]\displaystyle{ (1-x)(x+6)\gt 0 }[/math]

נבדוק מתי מתאפס. הביטוי הוא מכפלה של שני ביטויים ולכן הוא מתאפס כאשר כל אחד מהם מתאפס. לכן אגף שמאל מתאפס ב[math]\displaystyle{ x=1 }[/math] וב[math]\displaystyle{ x=-6 }[/math].

אם נפתח סוגריים נקבל [math]\displaystyle{ -x^2-5x+6 }[/math] והמקדם של [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] שלילי לכן הביטוי מקבל ערכים שליליים כש[math]\displaystyle{ x\lt -6 }[/math] ו[math]\displaystyle{ x\gt 1 }[/math] וערכים חיוביים כש[math]\displaystyle{ -6\lt x\lt 1 }[/math]

פתרון: [math]\displaystyle{ -6\lt x\lt 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ -3x^2 +6x - 1 \geq 0 }[/math]

מתי הביטוי מתאפס: [math]\displaystyle{ -3x^2+6x-1=0 }[/math]? לפי נוסחה נקבל [math]\displaystyle{ x={-6 \pm \sqrt{36-12} \over -6}=1 \pm {\sqrt{6} \over 3} }[/math]

המקדם של [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] שלילי לכן הערכים החיוביים מתקבלים בין הפתרונות שמצאנו.

פתרון: [math]\displaystyle{ 1 - {\sqrt{6} \over 3} \leq x \leq 1 + {\sqrt{6} \over 3} }[/math]

[math]\displaystyle{ (x^2+1)(x^2-1)x^2 \leq 0 }[/math]

נפרק לשלושה ביטויים: [math]\displaystyle{ x^2+1 }[/math] , [math]\displaystyle{ x^2-1 }[/math] , [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] , ונבדוק מתי כל אחד מהם חיובי ושלילי.

[math]\displaystyle{ x^2+1 }[/math] : ריבוע של מספר הוא תמיד אי-שלילי, ולכן בתוספת 1 הוא תמיד חיובי (למשוואה [math]\displaystyle{ x^2=-1 }[/math] אין פתרון ממשי)

[math]\displaystyle{ x^2-1 }[/math] : מתאפס ב[math]\displaystyle{ x= \pm 1 }[/math]. הביטוי שלילי ביניהם וחיובי ב[math]\displaystyle{ x\lt -1 }[/math] או [math]\displaystyle{ x\gt 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ x^2 }[/math] : מתאפס ב0 וחיובי אחרת.

קיבלנו מספר תחומים. נבדוק את סימן הביטוי בכל תחום לפי מכפלת הסימנים של הביטויים הקטנים:

[math]\displaystyle{ x\lt -1 }[/math] : הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה גם חיובית

[math]\displaystyle{ -1\lt x\lt 0 }[/math] : הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית

[math]\displaystyle{ 0\lt x\lt 1 }[/math] : הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית

[math]\displaystyle{ 1\lt x }[/math] : הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה חיובית

בנקודות [math]\displaystyle{ x=0 , pm 1 }[/math] הביטוי מתאפס לכן גם נקודות אלה הן פתרונות לאי השוויון.

פתרון: [math]\displaystyle{ -1 \leq x \leq 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\cdots (x-n)\gt 0 }[/math]

כאשר [math]\displaystyle{ n\in\mathbb{N} }[/math]. שימו לב, רצוי לחלק למקרים אפשריים של n.

[math]\displaystyle{ |x|\leq 7 }[/math]

[math]\displaystyle{ |2x-1|\lt 7 }[/math]

[math]\displaystyle{ (x-1)|x-1| \gt 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{|x|}{x} \gt 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ |x-1|\gt |x^2-1| }[/math]

[math]\displaystyle{ |x^2-4x-3| + |x-1| + |x-2| \gt 2x }[/math]