מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/2/פתרון 2

1

מצא לאילו ערכי x מתקיימים אי השיוויונים הבאים:

• [math]\displaystyle{ tan(x) \lt 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ tan(x)={sin(x) \over cos(x)} }[/math] לכן אי השוויון מתקיים כאשר למונה ולמכנה יש סימנים הפוכים. לפי הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות בעזרת מעגל היחידה, ניתן לראות שזה מתקיים ברביע השני וברביע הרביעי, ולכן התשובה היא: [math]\displaystyle{ -{\pi \over 2} + \pi k \lt x \lt \pi k }[/math]

• [math]\displaystyle{ sin(x)\lt cos(x) }[/math]

מתקיים שוויון כאשר [math]\displaystyle{ x={\pi \over 4} + \pi k }[/math]. עד [math]\displaystyle{ \pi \over 4 }[/math] הקוסינוס יותר גדול, ובנקודה זו זה מתהפך עד [math]\displaystyle{ 5\pi \over 4 }[/math] בה זה מתהפך בחזרה, וכך ממשיך במחזוריות של [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math]. לכן אי השוויון מתקיים עבור [math]\displaystyle{ -{3\pi \over 4}+2\pi k \lt x \lt {\pi \over 4} +2\pi k }[/math]

• [math]\displaystyle{ e^{sin(x)} \lt 1 }[/math]

נסמן [math]\displaystyle{ y=sin(x) }[/math] ונבדוק מתי [math]\displaystyle{ e^y\lt 1 }[/math]. יש שוויון עבור y=0 לכן אי השוויון מתקיים עבור [math]\displaystyle{ sin(x)=y\lt 0 }[/math]. מתכונות סינוס, זה מתקיים עבור [math]\displaystyle{ -\pi + 2\pi k \lt x \lt 2\pi k }[/math]

• [math]\displaystyle{ (sin(x)-cos(x))(sin(x)+(cos(x)) \gt 0 }[/math]

• [math]\displaystyle{ sin \Big(\pi\cdot cos(x)\Big)\gt 0 }[/math]