מרחב ניצב

הגדרה

יהי מרחב מכפלה פנימית V ותהי קבוצת וקטורים [math]\displaystyle{ S\subseteq V }[/math]. אזי הקבוצה

[math]\displaystyle{ S^\perp :=\{v\in V|\forall s\in S:\lt v,s\gt =0\} }[/math]

הינה מרחב וקטורי. אנו קוראים ל [math]\displaystyle{ S^\perp }[/math] המרחב הניצב ל-S

תרגילים

1

יהי V מרחב מכפלה פנימית. הוכח את הטענות הבאות:

א. [math]\displaystyle{ \{0\}^\perp=V }[/math]

ב. [math]\displaystyle{ V^\perp = \{0\} }[/math]

ג. אם [math]\displaystyle{ S_1\subseteq S_2\subseteq V }[/math] אזי [math]\displaystyle{ S_2^\perp\subseteq S_1^\perp }[/math]

ד. לכל קבוצה [math]\displaystyle{ S\subseteq V }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \Big(span(S)\Big)^\perp = S^\perp }[/math]