88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 9
תוכן עניינים
שאלה 1
יהיו הממ"חים , כאשר
היא מידת הספירה.
נגדיר פונקציה ע"י
.
א. מהו מלבן מדיד במרחב המכפלה ?
ב. הוכיחו כי מדידה במרחב המכפלה.
ג. הוכיחו כי מתקיים
ד. הסבירו מדוע סעיף ג' לא סותר את משפטי פוביני וטונלי.
שאלה 2 (שאלה מס' 3 במבחן שנת תשע"א)
א. אפיינו קבוצות מדידות ביחס למידת המכפילה .
ב. צטטו את משפט טונלי.
ג. נניח ש- ו-
הם שני מרחבי מידה חיובית, כאשר המידות
ו-
שלימות ו-
-סופיות. כרגיל נגדיר את מידת המכפילה
. תהי
מדידה
, ותהי
.
הוכיחו שלכמעט כל הקבוצה
מקיימת
.
יש לפתור רק את סעיף ג'
שאלה 3 (בונוס בשווי 15 נקודות)
השתמשו בזהות ובמשפט פוביני כדי לחשב את
בשתי דרכים שונות.
ע"י זה הוכיחו כי .
אינטגרל שימושי:![]()
הערה: האינטגרלים מתכנסים בהחלט, ולכן אפשר היה לרשום במקום
.
שאלה 4
יהי אוסף כל הפולינומים עם מקדמים ממשיים
. ברור כי
הוא מרחב וקטורי (אין צורך להוכיח זאת).
לכל פולינום נגדיר את
להיות הסכום של הערכים המוחלטים של המקדמים של
.
האם היא נורמה על
? ואם לא, אילו מאקסיומות הנורמה היא מקיימת?
שאלה 5
יהי מרחב בנך (מרחב נורמי שלם). ויהי
תת מרחב סגור. הוכיחו כי
הוא מרחב בנך.
זוהי עוד לא גרסה סופית של השאלות!