מבחני התכנסות לאינטגרלים לא אמיתיים

אינטגרלים לא אמיתיים מסוג ראשון

מבחן ההשוואה הראשון

יהי [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{R} }[/math], ותהי נק' [math]\displaystyle{ c\geq a }[/math] כך שמתקיים [math]\displaystyle{ \forall_{x\geq c} : g(x)\geq f(x)\geq 0 }[/math].

אזי מתקיים:

[math]\displaystyle{ \int_a^{\infty} g(x)\mathrm{d}x }[/math] מתכנס [math]\displaystyle{ \int_a^{\infty} f(x)\mathrm{d}x \Leftarrow }[/math] מתכנס

[math]\displaystyle{ \int_a^{\infty} f(x)\mathrm{d}x }[/math] מתבדר [math]\displaystyle{ \int_a^{\infty} g(x)\mathrm{d}x \Leftarrow }[/math] מתבדר

דוגמא.

קבע האם [math]\displaystyle{ \int_1^\infty \frac{\arctan(x)}{x} \mathrm{d}x }[/math] מתכנס או מתבדר

פתרון. נשים לב כי [math]\displaystyle{ \arctan(x) }[/math] היא פונקציה מונוטונית עולה ולכן בתחום האינטגרציה:

[math]\displaystyle{ \forall_{x\gt 1}: \arctan(x)\gt \arctan(1)=\frac{\pi}{4}\gt 0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \forall_{x\gt 1}: \frac{\arctan(x)}{x}\gt \frac{\pi}{4x}\gt 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \int_1^\infty \frac{\pi}{4x}\mathrm{d}x= \frac{\pi}{4} \int_1^\infty \frac1x \mathrm{d}x }[/math] מתבדר, ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל שלנו גם כן מתבדר.

מבחן ההשוואה הגבולי

יהי [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{R} }[/math], ותהיינה שתי פונקציות [math]\displaystyle{ f(x), g(x) }[/math] כך ש: [math]\displaystyle{ \forall_{x\geq a}:f(x),g(x)\gt 0 }[/math]

יהי הגבול: [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L }[/math]

אזי:

אם [math]\displaystyle{ L\gt 0 , L\in\mathbb{R} }[/math] אז [math]\displaystyle{ \int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x }[/math] ו- [math]\displaystyle{ \int_a^\infty g(x)\mathrm{d}x }[/math] מתכנסים או מתבדרים יחדיו ("חברים").

אם [math]\displaystyle{ L=0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ \int_a^\infty g(x)\mathrm{d}x }[/math] מתכנס [math]\displaystyle{ \int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x \Leftarrow }[/math] מתכנס.

אם [math]\displaystyle{ L=\infty }[/math] אז [math]\displaystyle{ \int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x }[/math] מתכנס [math]\displaystyle{ \int_a^\infty g(x)\mathrm{d}x \Leftarrow }[/math] מתכנס.