Mathwiki:ארגז חול

שאלה

אני יודעת שאתמול הוכחת לנו את זה לפני השיעור חזרה, אבל זה היה ממש לא מסודר ולא ממש הצלחתי לעקוב, אז אני אשמח אם אתה (או מישהו אחר בכיף(:) יתן תשובה: ככה: T נורמלי הוכח ש- [math]\displaystyle{ im(T)=im(T^*) }[/math]

הוכחה

דבר ראשון נוכיח ש[math]\displaystyle{ ker(T)=ker(T^*) }[/math]. נניח [math]\displaystyle{ v \in kerT }[/math] לכן [math]\displaystyle{ Tv=0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \forall u: \lt T^*Tv,u\gt =\lt 0,u\gt =0 }[/math] אבל [math]\displaystyle{ T^*T=TT^* }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \forall u: \lt TT^*v,u\gt =0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \forall u: \lt T^*v,T^*u\gt =0 }[/math] ובפרט זה נכון עבור v=u ולכן [math]\displaystyle{ \lt T^*v,T^*v\gt =0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ T^*v=0 }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ v \in ker T^* }[/math]. בכיוון ההפוך ההוכחה דומה.

עכשיו נוכיח את הטענה. [math]\displaystyle{ v \in kerT }[/math] אם"ם [math]\displaystyle{ \forall u: \lt Tv,u\gt =0 }[/math] אם"ם [math]\displaystyle{ \forall u: \lt v,T^*u\gt =0 }[/math] אם"ם [math]\displaystyle{ v \in (ImT^*)^\bot }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ kerT = (ImT^*)^\bot }[/math]. בצורה דומה [math]\displaystyle{ kerT^*=(ImT)^\bot }[/math]. אבל הגרעינים שווים ולכן [math]\displaystyle{ (ImT)^\bot=(ImT^*)^\bot }[/math] ומזה נובע שהם שווים (כי המרחב המאונך הינו יחיד, והמאונך של המאונך הינו המרחב עצמו).