עמוד ראשי

מה ללמוד לבוחן? מה שלמדנו בהרצאה ובתרגיל, עד חנוכה. (בחנוכה אין לימודים בקורס שלנו.) זה כולל הגדרות, ניסוח מדוייק והוכחות משפטים, משפטונים (שמשפטונים אפשר להוכיח גם כשלא זוכרים את ההוכחה מהכתה), ויכולת פתרון תרגילים ברמת קושי דומה לתרגילי הבית.

מטרות הבוחן:

1. הבאת ההתלמיד להבנה טובה של החומר שנלמד עד שלב זה, שתאפשר לו להתמודד עם המשך הקורס בצורה טובה.

2. נקודת ביקורת, שבה התלמיד מעריך את הידע והטכניקה הנוכחיים, במטרה לראות האם עליו לשפרם בצורה משמעותית לקראת המבחן.

מתי כדאי ללמוד לבוחן? מי שפנוי לכך בימי החנוכה, זה הזמן המומלץ ביותר. מי שלא, יכול ללמוד עד חנוכה, ולרענן את זכרונו מיום ראשון עד יום שלישי.

ואם יהיו לנו שאלות? ד"ר צבאן יעביר בהתנדבות שיעור ביום חמישי שחל בחנוכה (17 דצמבר), בשעות שתיים עד ארבע, בניין 105, חדר 106. השיעור הוא רשות, מיועד רק למי שיש לו שאלות או רוצה לשמוע תשובות לשאלות של האחרים, ופתוח לתלמידי שתי הקבוצות.

מה משקל הבוחן בציון הסופי? הבוחן הוא עשר אחוזים מהציון הסופי. למשל, מי שיקבל חמישים בבוחן, ציונו הסופי יהיה לכל היותר (בהנחה ששיפר את יכולותיו עד המבחן) תשעים וחמש.

ואם איני יכול להגיע לבוחן מסיבה מוצדקת? כעיקרון, אין הרבה סיבות מוצדקות להיעדר מהבוחן. במקרים מאד חריגים (שאנו מקוים שלא יהיו), ומגובים על ידי מסמכים רשמיים, ננסה לטפל בצורה פרטנית. לא מובטח שהפתרון למקרים כאלה יהיה אופטימלי, אך נעשה כמיטב יכלתנו לפתור את הבעיה לפחות חלקית.

תיקון/השלמה לתרגיל - לתלמידי כל המתרגלים

יהיה [math]\displaystyle{ V }[/math] ממ"פ ממימד [math]\displaystyle{ n }[/math]. יהיו וקטורים [math]\displaystyle{ v_1,...v_n \in V }[/math]. נגדיר את מטריצת גרהם [math]\displaystyle{ A }[/math] ע"י [math]\displaystyle{ a_{ij}=\lt v_i,v_j\gt }[/math]. הוכח:

[math]\displaystyle{ v_1,...v_n\iff |A|=0 }[/math] ת"ל

פתרון

תיקון/השלמה שנייה לתרגיל - לתלמידי כל המתרגלים

[math]\displaystyle{ A }[/math] לכסינה [math]\displaystyle{ \iff }[/math] הפולינום המינימלי שלה הוא מהצורה [math]\displaystyle{ m_A(t)=(t-\lambda_1)\cdots(t-\lambda_k) }[/math] עבור [math]\displaystyle{ \lambda_1,...,\lambda_k }[/math] הע"ע השונים של [math]\displaystyle{ A }[/math]

פתרון

שאלת הבונוס

תהי [math]\displaystyle{ A \in \mathbb{C}^{n} }[/math] הפיכה, ונתון ש [math]\displaystyle{ A^2 }[/math] לכסינה. הוכח ש[math]\displaystyle{ A }[/math] לכסינה.

יש פותרים לשאלת הבונוס. השאלה נפתרה בשני דרכים עיקריות:

1.

[math]\displaystyle{ P_{A^2} }[/math] מתפרק לגורמים לינאריים כי אנחנו מעל המרוכבים. לכן [math]\displaystyle{ P_{A^2}=(x-\lambda_1)\cdots(x-\lambda_k) }[/math]. המטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה ולכן גם [math]\displaystyle{ A^2 }[/math] הפיכה, ולכן אין לה ע"ע אפס (לפי משפט). לכן לכל [math]\displaystyle{ \lambda_i }[/math] קיימים שני שורשים [math]\displaystyle{ \pm\alpha_i }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ \alpha_i^2=\lambda_i }[/math].

[math]\displaystyle{ P_{A^2}(A^2)=0 }[/math] כלומר לכן

[math]\displaystyle{ 0=P_{A^2}(A^2)=(A^2-\alpha_1^2)\cdots(A^2-\alpha_k^2)=(A-\alpha_1)(A+\alpha_1)\cdots(A-\alpha_k)(A+\alpha_k)=0 }[/math].

נסמן [math]\displaystyle{ g=(x-\alpha_1)(x+\alpha_1)\cdots(x-\alpha_k)(x+\alpha_k) }[/math] וקבלנו ש[math]\displaystyle{ g(A)=0 }[/math] ולכן הפולינום המינימלי של [math]\displaystyle{ A }[/math] מחלק את [math]\displaystyle{ g(A) }[/math]. אבל [math]\displaystyle{ g }[/math] מכיל גורמים לינאריים בלבד ולכן גם הפולינום המינימלי של [math]\displaystyle{ A }[/math] מכיל גורמים לינאריים בלבד (שימו לב, אם אפס היה ע"ע אז היה גורם [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] לא לינארי). ולכן ולפי משפט (ראה תיקון/השלמה שנייה) [math]\displaystyle{ A }[/math] לכסינה.

2.

אנחנו מעל המרוכבים אז לכל מטריצה יש צורת ז'ורדן. תהיי [math]\displaystyle{ J }[/math] צורת הז'ורדן של [math]\displaystyle{ A }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ A=P^{-1}JP }[/math], נעלה בריבוע ונקבל [math]\displaystyle{ A^2=P^{-1}J^2P }[/math]כלומר [math]\displaystyle{ A^2 }[/math] ו [math]\displaystyle{ J^2 }[/math] דומות.

נניח בשלילה ש[math]\displaystyle{ A }[/math] לא לכסינה ונוכיח שנובע ש[math]\displaystyle{ J^2 }[/math] לא לכסינה וזו סתירה לכך ש[math]\displaystyle{ A^2 }[/math] לכסינה.

[math]\displaystyle{ J }[/math] היא סכום ישר של בלוקים, ולכן [math]\displaystyle{ J^2 }[/math] היא סכום ישר של הבלוקים של [math]\displaystyle{ J }[/math] בריבוע. הנחנו ש[math]\displaystyle{ A }[/math] לא לכסינה, לכן בצורת הז'ורדן שלה [math]\displaystyle{ J }[/math] יש בלוק בגודל גדול או שווה ל2 (אחרת כל הבלוקים בגודל אחד וזו מטריצה אלכסונית).

נניח [math]\displaystyle{ J_r(\lambda) }[/math] בלוק ז'ורדן ב[math]\displaystyle{ J }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ r\geq 2 }[/math]. מכיוון ש[math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה אין לה ע"ע אפס! ולכן [math]\displaystyle{ \lambda \neq 0 }[/math]. לכן בהכרח (תרגיל) [math]\displaystyle{ J_r(\lambda)^2 }[/math] מכיל איברים שאינם אפסים מעל האלכסון, והאלכסון שלו מכיל את [math]\displaystyle{ \lambda^2 }[/math]. ולכן [math]\displaystyle{ rank(J_r(\lambda)^2-\lambda^2I)\gt 0 }[/math]. לכן יש ל [math]\displaystyle{ J_r(\lambda)^2 }[/math] פחות מ [math]\displaystyle{ r }[/math] וקטורים עצמיים בת"ל.

לפי משפט, כמות הוקטורים העצמיים הבת"ל של מטריצה שהיא סכום ישר של מטריצות, היא סכום כמויות הוקטורים העצמיים הבת"ל בכל אחת מן המטריצות. זה נכון כי [math]\displaystyle{ rank(A\oplus B)=rankA+rankB }[/math]. אבל הראנו שיש בסכום הישר של המטריצה [math]\displaystyle{ J^2 }[/math] את הבלוק [math]\displaystyle{ J_r(\lambda)^2 }[/math] שתורם פחות מ [math]\displaystyle{ r }[/math] וקטורים עצמיים בת"ל. ולכן לכל המטריצה [math]\displaystyle{ J^2 }[/math] יש פחות מ[math]\displaystyle{ n }[/math] וקטורים עצמיים בת"ל, ולכן היא לא לכסינה. סתירה.