פתרון משוואה ממעלה 3

הדרך לפתרון משוואה ממעלה 3 מיוחסת לטרטליה (Tartaglia). אנו נציג שתי שיטות למצוא שורש כלשהו של המשוואה. מציאת השורשים האחרים תוסבר בסוף.

הערה: השיטה עובדת מעל כל שדה שהמאפיין שלו אינו 2 או 3.

לפני שמתחילים

בהינתן משוואה [math]\displaystyle{ x^3+ax^2+bx+c=0 }[/math] ניתן להציב [math]\displaystyle{ x=y-a/3 }[/math]. המשוואה שתתקבל מההצבה תהייה מהצורה [math]\displaystyle{ y^3+py+q=0 }[/math] עבור מספרים [math]\displaystyle{ p,q }[/math] כלשהם. ברור כי מספיק לפתור את המשוואה ב-[math]\displaystyle{ y }[/math] כי [math]\displaystyle{ y=y_0 }[/math] הוא פיתרון אם ורק אם [math]\displaystyle{ x=y_0-a/3 }[/math] הוא פיתרון של המשוואה ב-[math]\displaystyle{ x }[/math].

לכן, מעכשיו נניח שהמשוואה שלנו היא מהצורה [math]\displaystyle{ y^3+py+q=0 }[/math].

הערה: אם מסיבה כזו או אחרת אתם יכולים לזהות בקלות שורש של המשוואה (לדוגמא, אם [math]\displaystyle{ p=0 }[/math] או [math]\displaystyle{ q=0 }[/math]), אל תשתמשו בשיטות לעיל. הן עלולות להיכשל בגלל חלוקה ב-0.

שיטה ראשונה (טרטליה)

נחפש [math]\displaystyle{ u,v }[/math] כך שיתקיים [math]\displaystyle{ u^3+v^3=-q }[/math] ו-[math]\displaystyle{ uv=-p/3 }[/math].

טענה: במצב זה, [math]\displaystyle{ y=u+v }[/math] הוא שורש של המשוואה.

הוכחה: נציב ונבדוק:

[math]\displaystyle{ y^3+py+q=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+p(u+v)+q=(u^3+v^3)+3uv(u+v)+p(u+v)+q=-q-p(u+v)+p(u+v)+q=0 }[/math]

מש"ל.

כדי למצוא [math]\displaystyle{ u,v }[/math] נשים לב ש-[math]\displaystyle{ u^3\cdot v^3=-p^3/27 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ u^3,v^3 }[/math] הם שורשים של המשוואה הריבועית [math]\displaystyle{ t^2+p^3/27-q=0 }[/math]. נשתמש בנוסחה לפתרון משוואה ריבועית כדי לקבל את הפתרונות [math]\displaystyle{ t_1,t_2 }[/math] ואז נבחר [math]\displaystyle{ u=\sqrt[3]{t_1},v=\sqrt[3]{t_2} }[/math].

שיטה שנייה (מאוחרת יותר)

נציב [math]\displaystyle{ y=\alpha\cos\theta }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \alpha=\sqrt{-4p/3} }[/math]. אם נשתמש בזהות [math]\displaystyle{ \cos 3\theta = 4\cos^3\theta-3\cos\theta }[/math] נקבל:

[math]\displaystyle{ 0=y^3+py+q=\alpha^3\cos^3\theta+p\alpha\cos\theta+q=\frac{\alpha^3}{4}(\cos 3\theta + 3\cos\theta)-p\alpha\cos\theta=\frac{\alpha^3}{4}\cos 3\theta+\alpha(\frac{3}{4}\alpha^2+p)\cos\theta+q=\frac{\alpha^3}{4}\cos 3\theta+q }[/math]

לכן, מספיק למצוא [math]\displaystyle{ \theta }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ \cos 3\theta=-4q\alpha^{-3} }[/math] כדי ש-[math]\displaystyle{ y=\alpha\cos\theta }[/math] יהיה פיתרון. בדרך כלל נצטרך להשתמש ב-[math]\displaystyle{ \arccos }[/math] מרוכב כדי לחלץ את [math]\displaystyle{ 3\theta }[/math] ואז נצטרך להפעיל [math]\displaystyle{ \cos }[/math] מרוכב על [math]\displaystyle{ \theta }[/math] (כי הוא כנראה יהיה מספר מרוכב).